Cho phương trình \({\log _3}x.{\log _5}x = {\log _3}x + {\log _5}x\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Phương trình có một nghiệm hữu tỉ và một nghiệm vô tỉ
-
B.
Phương trình có một nghiệm duy nhất
-
C.
Phương trình vô nghiệm
-
D.
Tổng các nghiệm của phương trình là một số chính phương
- Đặt ẩn phụ để đưa về giải hệ phương trình.
- Chú ý phương trình logarit cơ bản ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Điều kiện \(x > 0\)
Ta đặt \({\log _3}x = u;{\log _5}x = v \Rightarrow u.v = u + v\)
Khi đó \(x = {3^u} = {5^v}\) suy ra \({\log _3}{3^u} = {\log _3}{5^v} \Leftrightarrow u = v{\log _3}5\)
\( \Rightarrow uv = u + v \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 = v{\log _3}5 + v\) \( \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 - v\left( {{{\log }_3}5 + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow v\left( {v{{\log }_3}5 - {{\log }_3}5 - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}v = 0\\v{\log _3}5 - {\log _3}5 - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}v = 0\\v = \dfrac{{{{\log }_3}5 + 1}}{{{{\log }_3}5}} = 1 + \dfrac{1}{{{{\log }_3}5}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1 + {\log _3}5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = {3^{1 + {{\log }_3}5}} = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Do đó phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1,{x_2} = 15\) và tổng hai nghiệm bằng \(16\) là một số chính phương.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Giá trị của $x$ thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2\) là
Tập nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2x\) là:
Giải phương trình \({\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _9}\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right] = \frac{5}{4}\).
Giải phương trình $\log_{3}\left( {2x-1} \right) = 2$ , ta có nghiệm là:
Giải phương trình $\log_{4}\left( {x-1} \right) = 3$
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\).
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _2}({x^2} - 4x + 3) = {\log _2}(4x - 4)\)
Giải phương trình \({\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3\)
Tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\) là:
Hỏi có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên trong đoạn \(\left[ { - 2017;2017} \right]\) để phương trình \(\log mx = 2\log \left( {x + 1} \right)\) có nghiệm duy nhất?
Gọi $x_1, x_2$ là các nghiệm của phương trình ${\left( {{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3 = 0$. Khi đó tích $x_1, x_2$ bằng:
Giả sử $m$ là số thực sao cho phương trình \(\log _3^2x - (m + 2){\log _3}x + 3m - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt thỏa mãn \({x_1}.{x_2} = 9\) .
Khi đó $m$ thỏa mãn tính chất nào sau đây?
Giải phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\). Ta có nghiệm:
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b).\)Tính tỉ số \(\dfrac{a}{b}\).
Phương trình \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\) có hai nghiệm là \({x_1};{x_2}\) thì tổng \({x_1} + {x_2}\) là:
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình \(2{\log _2}\left| x \right| + {\log _2}\left| {x + 3} \right| = m\) có $3$ nghiệm thực phân biệt.
Cho a, b, x là các số thực dương khác 1 thỏa: \(4\log _a^2x + 3\log _b^2x = 8{\log _a}x.{\log _b}x\quad (1)\). Mệnh đề (1) tương đương với mệnh đề nào sau đây:
Cho x>0; \(x \ne 1\) thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:
Tìm tập nghiệm của phương trình \({\log _3}x + \dfrac{1}{{{{\log }_9}x}} = 3\)
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\log _2}x - {\log _2}(x - 2) = m$ có nghiệm
