Giải phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\). Ta có nghiệm:
-
A.
\(x ={\log _2}3\) và \(x ={\log _2}5\)
-
B.
$x = 1$ và $x = - 2$
-
C.
\(x ={\log _2}3\) và $ x ={\log _2}\dfrac{5}{4}$
-
D.
$x = 1$ và $x = 2$
Biến đổi phương trình về dạng tích và sử dụng phương pháp giải phương trình logarit cơ bản.
Phương trình đã cho tương đương với:
$\begin{array}{l}{\log _2}({2^x} - 1)[\log _{4}2 + \log _{4}({2^x} - 1)] = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right)\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\log }_2}\left( {{2^x} - 1} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right)\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {{2^x} - 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{2^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = 1\\{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 1 = 2\\{2^x} - 1 = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 3\\{2^x} = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}3\\x = {\log _2}\dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array}$
Đáp án : C
Danh sách bình luận