Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 + x3 – x2 – 1
Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 + x3 – x2 – 1
Sử dụng thêm bớt để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.
x6 + x3 – x2 – 1
= x6 – x3 + 2x3 – 2x2 + x2 – 1
= (x6 – x3) + (2x3 – 2x2) + (x2 – 1)
= x3(x3 – 1) + 2x2(x – 1) + (x – 1)(x + 1)
= (x – 1)[x3(x2 + x + 1) + 2x2 + x + 1]
= (x – 1)(x5 + x4 + x3 + 2x2 + x + 1)
Xét đa thức g(x) = x5 + x4 + x3 + 2x2 + x + 1 có bậc 5 là số lẻ.
Khi đó giả sử tồn tại 2 đa thức h(x) và j(x) hệ số nguyên sao cho: g(x) = h(x).j(x)
Khi đó 1 trong 2 đa thức h(x), j(x) phải có bậc lẻ (vì nếu cả 2 đều bậc chẵn thì thành thử bậc của g(x) phải chẵn, mâu thuẫn theo trên).
Không mất tổng quát, giả sử đa thức h(x)h(x) có bậc lẻ. Khi đó nếu nó có nghiệm hữu tỉ thì gọi nghiệm hữu tỉ này là \(x = \frac{p}{q}\) \((p,q \in \mathbb{Z}; (p;q)=1)\) thì \(p \vdots 1, q \vdots 1\) nên x = ±1. Thử lại, ta thấy 2 nghiệm này đều không thỏa mãn.
Do đó, g(x) không có nghiệm vô tỉ nên ta không thể phân tích tiếp f(x) thành nhân tử được nữa.
Phương pháp nhóm hạng tử
Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.
Các bài tập cùng chuyên đề
Phân tích đa thức \(2{x^2} - 4xy + 2y - x\) thành nhân tử.
Tính nhanh giá trị của biểu thức
\(A = {x^2} + 2y - 2x - xy\) tại \(x = 2022,y = 2020\)
Đa thức \({x^2} - 9x + 8\) được phân tích thành tích của hai đa thức
A. \(x - 1\) và \(x + 8\)
B. \(x - 1\) và \(x - 8\)
C. \(x - 2\) và \(x - 4\)
D. \(x - 2\) và \(x + 4\)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(8{x^3} - 1\)
b) \({x^3} + 27{y^3}\)
c) \({x^3} - {y^6}\)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \({x^2} - xy + x - y\)
b) \({x^2} + 2xy - 4x - 8y\)
c) \({x^3} - {x^2} - x + 1\)
Cho đa thức: \({x^2} - 2{\rm{x}}y + {y^2} + x - y\)
a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích
b) Phân tích đa thức trên thành nhân tử
Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
\(a){x^2} - 25 - 4{\rm{x}}y + 4{y^2}\) \(b){x^3} - {y^3} + {x^2}y - x{y^2}\) \(c){x^4} - {y^4} + {x^3}y - x{y^3}\)
Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a) \(A = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2}y - {x^2} + {y^2} + y\) biết \({x^2} - y = 6\)
b) \(B = {x^2}{y^2} + 2{\rm{x}}yz + {z^2}\) biết xy + z = 0.
Cho đa thức \({x^2} - 6x + 2xy - 12y.\)
- Các hạng tử của đa thức trên có nhân tử chung không?
- Viết \({x^2} - 6x + 2xy - 12y = \left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {2xy - 12y} \right)\) rồi phân tích mỗi đa thức trong ngoặc thành nhân tử. Từ đó phân tích đa thức \({x^2} - 6x + 2xy - 12y\) thành nhân tử.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(2{x^2}y + {x^2}z - 2{y^2} - yz\).
Tính nhanh: \(91.122,5 - 91.17,5 + 122,5.9 - 17,5.9\).
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^2} + {x^3} - {y^2} - {y^3}\)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(x + 2x\left( {x - y} \right) - y\);
b) \({x^2} + xy - 3x - 3y\);
c) \(xy - 5y + 4x - 20\);
d) \(5xy - 25{x^2} + 50x - 10y\).
Tính giá trị của biểu thức:
a) \(P = 7\left( {a - 4} \right) - b\left( {4 - a} \right)\) tại \(a = 17\) và \(b = 3\);
b) \(Q = {a^2} + 2ab - 5a - 10b\) tại \(a = 1,2\) và \(b = 4,4\).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(4{a^2} - 4{b^2} - a - b\);
b) \(9{a^2} - 4{b^2} + 4b - 1\);
c) \(4{x^3} - {y^3} + 4{x^2}y - x{y^2}\);
d) \({a^3} - {b^3} + 4ab + 4{a^2} + 4{b^2}\).
Tìm số tự nhiên \(n\) để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố.
Phân tích đa thức \(5x - 5y + ax - ay\) thành nhân tử, ta nhận được
A. \(\left( {5 + a} \right)\left( {x - y} \right)\)
B. \(\left( {5 - a} \right)\left( {x + y} \right)\)
C. \(\left( {5 + a} \right)\left( {x + y} \right)\)
D. \(5\left( {x - y + a} \right)\)
Đa thức \({x^2} - 3xy + 2{y^2}\) được phân tích thành tích của hai đa thức:
A. x + 2y và x – y.
B. x – 2y và x + y.
C. x + 2y và x + y.
D. x – 2y và x – y.
Đa thức \({x^2} + 5x + 6\) được phân tích thành tích của hai đa thức:
A. x + 2 và x – 3.
B. x – 2 và x – 3.
C. x + 2 và x + 3.
D. x – 2 và x + 3.
Đa thức \({x^2} - 9x + 8\) được phân tích thành tích của hai đa thức
A. x – 1 và x + 8.
B. x – 1 và x – 8.
C. x – 2 và x – 4.
D. x – 2 và x + 4.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(2{x^2}\;-3x + 1\).
b) \(3{x^2}\; + 4x + 1\).
Phân tích đa thức \( 5{x^2} - 4x + 10xy - 8y\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)\)
-
B.
\(\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
-
C.
\(\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
-
D.
\(\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)\)
Cho đa thức: \(f(x) = {x^2} - 15{\rm{x}} + 56\)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Tìm x sao cho f(x) = 0
Cho đa thức: \(f(x) = {x^2} - 15{\rm{x}} + 56\)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Tìm x sao cho f(x) = 0
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x2 – 3x + 1.
b) 3x2 + 4x + 1.
Phân tích đa thức \(3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\) thành nhân tử
-
A.
\((3x - 2)(x + 3)(x - 5)\).
-
B.
\(3(x - 2)(x + 3)(x - 5)\).
-
C.
\((3x - 2)(x - 3)(x + 5)\).
-
D.
\((x - 2)(3x + 3)(x - 5)\).
