Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\).

Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{2}\).

Vậy với \(m =  - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\).

Vì \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\) suy ra tung độ điểm \(A\) là \(y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)\) .

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc là \(a = 1\), đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số góc là \(a' \Rightarrow a'.1 =  - 1 \Rightarrow a' =  - 1\) . Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) có dạng \(y =  - x + b\). Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(A\left( {2;4} \right)\) suy ra \(4 =  - 2 + b \Rightarrow b = 6\). Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y =  - x + 6\).

Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\).

Hình vẽ:

Gọi \(B\) là giao điểm của đường thẳng

 \(({d_3})\) và \(({d_2})\). Phương trình hoành độ giao điểm

của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là:

\( - x + 6 = x - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{{25}}{8} \Rightarrow y = \dfrac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{{23}}{8}} \right)\).

Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \(AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}}  = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\).

Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\). Ta có:

Cho \(y = 0 \Rightarrow x =  - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)\), cho \(y = 0 \Rightarrow x =  - 2 \Rightarrow N\left( { - 2;0} \right)\). Từ đó suy ra \(OM = ON = 2\).

Tam giác $OMN$ vuông cân tại \(O\) nên \({S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = 2\) ( đvdt).