Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).
Thay nghiệm vào phương trình, tính m.
Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).
Thay \(x = 1 + \sqrt 7 \) vào phương trình, ta có: \({\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} - 2\left( {1 + \sqrt 7 } \right) - m + 1 = 0\)
\(8 + 2\sqrt 7 - 2 - 2\sqrt 7 - m + 1 = 0\)
\(m = 7\).
Vậy phương trình đã cho là \({x^2} - 2x - 6 = 0\).
Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Áp dụng hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2}}{1} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 6}}{1} = - 6\end{array} \right.\)
Ta có \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1} = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 6.2 = - 12\).
Vậy A = -12.
