Đề bài

a) Tìm \(a\) để đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).\)

b) Cho phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)\).

Phương pháp giải

a) Thay toạ độ của điểm M vào hàm số để tìm a.

b) Dùng \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

Biến đổi biểu thức M để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Để đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right)\) thì

\(2 = a.{(\sqrt 2 )^2}\)

\(2 = a.2\)

\(a = 1\)

Vậy với \(a = 1\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).\)

b) Xét phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có: \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7\\P = {x_1}{x_2} = \frac{{12}}{1} = 12\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)\\ = {x_1} - 25x_1^2 - 25x_2^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}\\ =  - 25x_1^2 - 25x_2^2 - 50{x_1}{x_2} + 50{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}\\ =  - 25\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 51{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ =  - 25{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 51{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ =  - {25.7^2} + 51.12 + 7\\ =  - 606\end{array}\)

Vậy \(M =  - 606\)

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2;\,\,{x_2} = 3.\)

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Giải các phương trình:

a) \({x^2} - 12x = 0\)

b) \(13{x^2} + 25x - 38 = 0\)

c) \(3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0\)

d) \(x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)\)

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\).

a)    Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)

b)   Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\). Chứng minh cả 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều khác 0.

c)    Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)

d)   Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\)

e)    Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m2 và chu vi bằng 6,4m. Tìm kích thước của cửa sổ đó.

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0{\rm{ (1)}}\) (với m là tham số)

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0{\rm{ }}(1)\) (với \(m\)là tham số)

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {3 - 2m} \right)x - {m^2}\) (\(m\) là tham số).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).

Xem lời giải >>
Bài 9 : Cho phương trình \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}({x_1} + 2024) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}\)

 

Xem lời giải >>
Bài 10 : Cho phương trình \({x^2} + 4x - 1 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}\).

 

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\).

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

Xem lời giải >>
Bài 12 : Cho phương trình \(4{x^2} + 4x - 3 = 0\)

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {4 + \frac{1}{3}{x_2}} \right) + 4{x_2}\).

 

Xem lời giải >>
Bài 13 : Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).

 

Xem lời giải >>
Bài 14 : Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).

 

Xem lời giải >>
Bài 15 : Cho phương trình \({\left( {2x} \right)^2} - x\left( {x + 4} \right) =  - 1\)

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 - \frac{4}{3}{x_1} - x_2^2 + \frac{4}{3}{x_2} + {\left( {3{x_1}.{x_2}} \right)^2}\).

 

Xem lời giải >>
Bài 16 :

a) Tìm các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.

b) Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính \(x_1^3 + x_2^3\).

Xem lời giải >>