Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;5;0} \right);\,\,B\left( {3;3;6} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\). Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng \(\sqrt a + \sqrt b \) với a, b là các số nguyên. Khi đó:
-
A.
\(a + b = 40\)
-
B.
\(a + b = 38\)
-
C.
\(\left| {a - b} \right| = 10\)
-
D.
\(\left| {a - b} \right| = 12\)
+) Kiểm tra AB và d chéo nhau.
+) \({C_{MAB\,\min }} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} \Leftrightarrow MA = MB\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\); \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;2} \right)\), d đi qua điểm \(M\left( { - 1;1;0} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} } \right].\overrightarrow {AM} \ne 0 \Rightarrow AB\) và d chéo nhau.
Ta có \({C_{MAB}} = MA + MB + AB\). Do AB không đổi nên \({C_{MAB\,\,\min }} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }}\).
Do AB và d chéo nhau nên \(MA + MB\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {MA.MB} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} \Leftrightarrow MA = MB\).
\( \Rightarrow M \in \) mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm \(I\left( {2;4;3} \right)\) của AB và nhận \(\left( {1; - 1;3} \right)\) là 1 VTPT.
\( \Rightarrow M \in \left( P \right):\,\,x - y + 3z - 7 = 0\).
\( \Rightarrow M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;2t} \right).\)
Thay vào mặt phẳng (P) \( \Rightarrow - 1 + 2t - 1 + t + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;2} \right) \Rightarrow MA = MB = \sqrt {29} \)
\(AB = 2\sqrt {11} \Rightarrow {C_{\Delta MAB}} = 2\sqrt {11} + 2\sqrt {29} \Rightarrow {p_{\Delta MAB}} = \sqrt {11} + \sqrt {29} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 29\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 40\).
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A\left( {1;0;1} \right),\,\,B\left( {2;1;2} \right),\,\,D\left( {2; - 2;2} \right)$,$A'(3;0; - 1)$, điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách $AM + MC'$ là:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0; - 1;2),\,\,B(1;1;2)$ và đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$. Biết điểm M(a;b;c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị $T = a + 2b + 3c$ bằng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2;1;0),\,B(0;2;1)$, $C(1;3; - 1)$. Điểm $M \in \left( \alpha \right)$ sao cho $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2; - 5),\,B( - 1;0;2)$. Biết điểm M thuộc $\Delta $ sao cho biểu thức $T = \left| {MA - MB} \right|$ đạt GTLN là ${T_{max}}$. Khi đó, ${T_{max}}$ bằng bao nhiêu?
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\;0;\;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;\;1;\;1} \right).\) Xét các điểm \(B,\;C,\;D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\;AC,\;AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) và điểm \(A\left( { - 1; - 1; - 1} \right).\) Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right),\;M\) luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO = \dfrac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;\;1;\;1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\;1;\;2} \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;2;3} \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các tia $Ox;\,\,Oy;\,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;\,\,B;\,\,C$ $\left( {A;\,\,B;\,\,C \ne O} \right)$ sao cho thể tích của tứ diện $OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
