Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2;1;0),\,B(0;2;1)$, $C(1;3; - 1)$. Điểm $M \in \left( \alpha \right)$ sao cho $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
${x_M} + {y_M} + {z_M} = 3$.
-
B.
${x_M} + {y_M} + {z_M} = 4$.
-
C.
${x_M} + {y_M} + {z_M} = 2$.
-
D.
${x_M} + {y_M} + {z_M} = 1$.
Bước 1: Xác định điểm $I$ thỏa mãn : $2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 $
Bước 2: Biến đổi $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI$
Bước 3: Đánh giá và tìm vị trí của M để MI ngắn nhất (M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$).
+) Xác định điểm $I(a;b;c)$ sao cho: $2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 $:
Ta có:$\overrightarrow {IA} = \left( {2 - a;1 - b; - c} \right),\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - a;2 - b;1 - c} \right),\,\,\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - a} \right) + 3\left( { - a} \right) - 4\left( {1 - a} \right) = 0\\2\left( {1 - b} \right) + 3\left( {2 - b} \right) - 4\left( {3 - b} \right) = 0\\2\left( { - c} \right) + 3\left( {1 - c} \right) - 4\left( { - 1 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 4\\c = 7\end{array} \right. \Rightarrow I(0; - 4;7)$
Khi đó: $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \underbrace {\left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {IC} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right| = MI$, $ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt GTNN khi và chỉ khi MI ngắn nhất
$ \Leftrightarrow $M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
+) Xác đinh tọa độ điểm $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I(0; - 4;7)$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0$.
Đường thẳng IH nhận $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \left( {2;1; - 2} \right)$ là VTCP, phương trình đường thẳng IH: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 4 + t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}H \in IH \Rightarrow H\left( {2t; - 4 + t;7 - 2t} \right)\\H \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2\left( {2t} \right) + \left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {7 - 2t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2; - 3;5} \right)\end{array}$
Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ $M\left( {2; - 3;5} \right) \Rightarrow {x_M} + {y_M} + {z_M} = 4$.
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A\left( {1;0;1} \right),\,\,B\left( {2;1;2} \right),\,\,D\left( {2; - 2;2} \right)$,$A'(3;0; - 1)$, điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách $AM + MC'$ là:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0; - 1;2),\,\,B(1;1;2)$ và đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$. Biết điểm M(a;b;c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị $T = a + 2b + 3c$ bằng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2; - 5),\,B( - 1;0;2)$. Biết điểm M thuộc $\Delta $ sao cho biểu thức $T = \left| {MA - MB} \right|$ đạt GTLN là ${T_{max}}$. Khi đó, ${T_{max}}$ bằng bao nhiêu?
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\;0;\;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;\;1;\;1} \right).\) Xét các điểm \(B,\;C,\;D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\;AC,\;AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) và điểm \(A\left( { - 1; - 1; - 1} \right).\) Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right),\;M\) luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO = \dfrac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;\;1;\;1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\;1;\;2} \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;2;3} \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các tia $Ox;\,\,Oy;\,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;\,\,B;\,\,C$ $\left( {A;\,\,B;\,\,C \ne O} \right)$ sao cho thể tích của tứ diện $OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;5;0} \right);\,\,B\left( {3;3;6} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\). Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng \(\sqrt a + \sqrt b \) với a, b là các số nguyên. Khi đó:
