Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) và điểm \(A\left( { - 1; - 1; - 1} \right).\) Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right),\;M\) luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:

Ta có\(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {2;\;3; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 4.\)

\(\overrightarrow {AO}  = \left( {3;\;4;\;0} \right) \Rightarrow OA = 5.\)

Tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(IM.\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn đó.

Khi đó ta có \(OA \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right)\) nhận \(\overrightarrow {AO}  = \left( {3;\;4;\;0} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):\;\;3x + 4y + a = 0.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAM\) có đường cao \(MI\) ta có:

\(\begin{array}{l}OI = \dfrac{{O{M^2}}}{{OA}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = \dfrac{{16}}{5} = d\left( {O;\;\left( \alpha  \right)} \right).\\ \Rightarrow \dfrac{{16}}{5} = \dfrac{{\left| {2.3 + 4.3 + a} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| {18 + a} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a =  - 34\end{array} \right..\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( \alpha  \right):\;\;3x + 4y - 2 = 0\\\left( \alpha  \right):\;3x + 4y - 34 = 0\end{array} \right..\end{array}\)