Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2; - 5),\,B( - 1;0;2)$. Biết điểm M thuộc $\Delta $ sao cho biểu thức $T = \left| {MA - MB} \right|$ đạt GTLN là ${T_{max}}$. Khi đó, ${T_{max}}$ bằng bao nhiêu?
-
A.
${T_{max}} = \sqrt {57} $.
-
B.
${T_{max}} = 3\sqrt 6 $.
-
C.
${T_{max}} = 3$.
-
D.
${T_{max}} = 2\sqrt 6 - 3$.
- Chứng minh \(A, B, \Delta \) đồng phẳng.
- Lấy \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(\Delta\). Tìm tọa độ \(A'B\).
- Tính GTLN của biểu thức (chứng minh đó là độ dài \(A'B\)).
+) Chứng minh $A, B,\Delta $ đồng phẳng:
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua A và chứa $\Delta $ ($\Delta $ đi qua $C(0;1;0)$ và nhận $\overrightarrow u (1;1;1)$ là VTCP)
$\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;5} \right)$
$\left( \alpha \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 6;0)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$: $6(x - 1) - 6(y - 2) + 0(z + 5) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$
Ta có: $\,B( - 1;0;2);\,\,\, - 1 + 0 + 1 = 0 \Rightarrow B \in \left( \alpha \right)$
$ \Rightarrow $ A, B, $\Delta $ đồng phẳng.
+) Tìm giao điểm của $M$ của $AB $ và $\Delta $:
$\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$ có PTTS : $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right.$ , $M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;t)$
$\,\overrightarrow {AB} ( - 2; - 2;7)$, $\overrightarrow {AM} \left( {t - 1;t - 1;t + 5} \right)$
$A,M,B$ thẳng hàng $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} //\overrightarrow {AB} \Rightarrow \dfrac{{t - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{t - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{t + 5}}{7} \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - 1}}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)$
Mặt khác, $\overrightarrow {AM} \left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{4}{3};\dfrac{{14}}{3}} \right);\,\,\overrightarrow {BM} \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = - 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow $ M nằm giữa A và B, suy ra, trong $\left( \alpha \right)$, A và B nằm khác phía so với đường thẳng $\Delta $.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B. Khi đó, $\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B$, ${\left| {MA' - MB} \right|_{max}} = A'B$ khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và đường thẳng $\Delta $ (điểm M như trên là tồn tại).
+) Tìm tọa độ điểm A’:
Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng qua A và vuông góc $\Delta $, khi đó, $\left( \beta \right)$ nhận $\overrightarrow {{u_\Delta }} (1;1;1)$ là 1 VTPT.
Phương trình mặt phẳng $\left( \beta \right)$:
$1.(x - 1) + 1.(y - 2) + 1.(z + 5) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 2 = 0$
$H \in \Delta \Rightarrow $Gọi $H(m;1 + m;m)$
$H \in \left( \beta \right) \Rightarrow m + 1 + m + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$$ \Rightarrow H( - 1;0; - 1)$
H là trung điểm của AA’ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_H} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_H} = \dfrac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = - 3\\{y_{A'}} = - 2\\{z_{A'}} = 3\end{array} \right.$
Độ dài đoạn A’B: $A'B = \sqrt {{{( - 1 + 3)}^2} + {{(0 + 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2}} = 3$
Vậy, ${T_{max}} = 3$
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A\left( {1;0;1} \right),\,\,B\left( {2;1;2} \right),\,\,D\left( {2; - 2;2} \right)$,$A'(3;0; - 1)$, điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách $AM + MC'$ là:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0; - 1;2),\,\,B(1;1;2)$ và đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$. Biết điểm M(a;b;c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị $T = a + 2b + 3c$ bằng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2;1;0),\,B(0;2;1)$, $C(1;3; - 1)$. Điểm $M \in \left( \alpha \right)$ sao cho $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\;0;\;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;\;1;\;1} \right).\) Xét các điểm \(B,\;C,\;D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\;AC,\;AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) và điểm \(A\left( { - 1; - 1; - 1} \right).\) Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(AM\) tiếp xúc với \(\left( S \right),\;M\) luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO = \dfrac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;\;1;\;1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\;1;\;2} \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;2;3} \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các tia $Ox;\,\,Oy;\,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;\,\,B;\,\,C$ $\left( {A;\,\,B;\,\,C \ne O} \right)$ sao cho thể tích của tứ diện $OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;5;0} \right);\,\,B\left( {3;3;6} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\). Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng \(\sqrt a + \sqrt b \) với a, b là các số nguyên. Khi đó:
