Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO = \dfrac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) bằng:

Gọi hình lập phương có cạnh là \(a.\)

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

\(\begin{array}{l}B'\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\;A'\left( {a;\;0;\;0} \right),\;C'\left( {0;\;a;\;0} \right),\;D'\left( {a;\;a;\;0} \right),\\A\left( {a;\;0;\;a} \right),\;I\left( {\dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{2};\;0} \right),\;B\left( {0;\;0;\;a} \right),\;O\left( {\dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{2}} \right).\\ \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \left( {0;\;0;\;\dfrac{a}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OI}  = \left( {0;\;0;\;\dfrac{a}{6}} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - {x_O} = 0\\{y_M} - {y_O} = 0\\{z_M} - {z_O} = \dfrac{a}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{a}{2}\\{y_M} = \dfrac{a}{2}\\{z_M} = \dfrac{{2a}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{2};\;\dfrac{{2a}}{3}} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {\dfrac{a}{2};\; - \dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{3}} \right),\;\overrightarrow {MB}  = \left( { - \dfrac{a}{2};\; - \dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{3}} \right),\;\overrightarrow {MC'}  = \left( { - \dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{2}; - \dfrac{{2a}}{3}} \right),\;\overrightarrow {MD'}  = \left( {\dfrac{a}{2};\;\dfrac{a}{2}; - \dfrac{{2a}}{3}} \right).\\ \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {0; - \dfrac{{{a^2}}}{3}; - \dfrac{{{a^2}}}{2}} \right) =  - {a^2}\left( {0;\;\dfrac{1}{3};\;\dfrac{1}{2}} \right).\\{\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MC'} ,\;\overrightarrow {MD'} } \right] = \left( {0; - \dfrac{{2{a^2}}}{3}; - \dfrac{{{a^2}}}{2}} \right) =  - {a^2}\left( {0;\;\dfrac{2}{3};\;\dfrac{1}{2}} \right).\end{array}\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {M'C'D'} \right).\)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {MAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {MC'D'} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {MAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {MC'D'} \right)}}} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{4}} .\sqrt {\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{4}} }} = \dfrac{{17\sqrt {13} }}{{65}}.\\ \Rightarrow sin\alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \dfrac{{6\sqrt {13} }}{{65}}.\end{array}$