Cho khối chóp $S.ABC$ có điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3},\,\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua hai điểm $M, N$ và song song $SC$ chia khối chóp thành $2$ khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của khối đa diện có thể tích lớn hơn so với thể tích khối chóp $S.ABC.$
-
A.
$\dfrac{5}{9}.$
-
B.
$\dfrac{3}{5}.$
-
C.
$\dfrac{2}{3}.$
-
D.
$\dfrac{3}{4}.$
- Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp, sử dụng định lý:
“Ba mặt phẳng cắt nhau đôi một theo ba giao tuyến, nếu hai giao tuyến bất kì không có điểm chung thì cả ba giao tuyến song song với nhau.”
- Phân chia khối đa diện thành các hình chóp.
- Tính thể tích các hình chóp đó theo thể tích khối chóp lớn \(S.ABC\) và suy ra kết luận.
Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) : kẻ $NI//SC,I \in BC$ .
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ : kẻ $MJ//SC,J \in AC$ .
\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( \alpha \right)$ là $MNIJ$.
Ta tính tỉ số thế tích của khối đa diện $MNBIJA$ với khối chóp $S.ABC $:
Ta có:
$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{N.MAJ}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.d(N,\,(SAC)).\,{S_{AMJ}}}}{{\dfrac{1}{3}.d(B,(SAC)).{S_{SAC}}}} = \dfrac{{d(N,\,(SAC))}}{{d(B,\,(SAC))}}.\dfrac{{{S_{AMJ}}}}{{{S_{SAC}}}}\\ = \dfrac{{SN}}{{BS}}.\dfrac{{AM}}{{SA}}.\dfrac{{AJ}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{N.MAJ}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ABC}}\,\,(1)\end{array}$
$\dfrac{{{V_{N.ABIJ}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.d(N,(ABC)).{S_{ABIJ}}}}{{\dfrac{1}{3}.d(S,(ABC)).{S_{ABC}}}} = \dfrac{{d(N,(ABC))}}{{d(S,(ABC))}}.\dfrac{{{S_{ABIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{NB}}{{SB}}.\dfrac{{{S_{ABIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{7}{9} = \dfrac{7}{{27}}$ (vì $\dfrac{{{S_{CIJ}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{IC}}{{BC}}.\dfrac{{JC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}$ ).
$ \Rightarrow {V_{N.ABIJ}} = \dfrac{7}{{27}}{V_{S.ABC}}\,\,(2)$
Từ (1), (2) suy ra ${V_{N.AMJ}} + {V_{N.ABIJ}} = \left( {\dfrac{8}{{27}} + \dfrac{7}{{27}}} \right){V_{S.ABC}} \Leftrightarrow {V_{MNBIJA}} = \dfrac{5}{9}{V_{S.ABC}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{MNBIJA}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{5}{9}$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho khối chóp tứ giác $S.ABCD.$ Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác \(SAB,\;SAC,\;\;SAD\) chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là \({V_1}\) và \({V_2}\;\;\left( {{V_1} < {V_2}} \right).\) Tính tỉ lệ \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD, BC$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều bằng $5.$ Biết thể tích của khối tứ diện $ABCD $ đạt giá trị lớn nhất có dạng ${V_{\max }} = \dfrac{{x\sqrt y }}{4};\,\,x,y \in {N^*};\,\,(x;y) = 1$. Khi đó, $x,\,y$ thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây?
Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat {BAD} = {60^0}$, $AB’$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc ${30^0}$. Thể tích của khối hộp là
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD,$ đường cao $SO.$ Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng chứa $SO,$ thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng $a,$ tính thể tích khối chóp đã cho.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó.
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh bằng $a,$ hình chiếu vuông góc của $A’$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ nằm trong tứ giác $ABCD,$ các cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ của hình hộp tạo với nhau một góc $60^0.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’.$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 3,BC = 4,AC = 5\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) biết rằng cắc mặt bên tạo với đáy một góc \({30^0}\) và hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác \(ABC\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\) trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số thể tích đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).
Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc $45^0$ và khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng \(a\). Tính thể tích của khối chóp đó.
