Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD,$ đường cao $SO.$ Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng chứa $SO,$ thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng $a,$ tính thể tích khối chóp đã cho.
-
A.
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.$
-
B.
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$
-
C.
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$
-
D.
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.$
Diện tích thiết diện lớn nhất đạt được khi giao tuyến của nó với đáy chính là đường chéo của hình vuông.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $SO,$ cắt mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến là đường thẳng \(MN\) với \(M,N\) thuộc các cạnh của hình vuông \(ABCD\).
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(MN\) như hình vẽ.
Ta có : \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SO.MN \le \dfrac{1}{2}SO.AC = {S_{SAC}} = const\)
Do đó \({S_{SMN}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({S_{SAC}}\) khi \(MN = AC=BD\).
Mà tam giác $SMN $ đều cạnh $a$ nên $AC=BD=a$
\(\Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) và \(SO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho khối chóp tứ giác $S.ABCD.$ Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác \(SAB,\;SAC,\;\;SAD\) chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là \({V_1}\) và \({V_2}\;\;\left( {{V_1} < {V_2}} \right).\) Tính tỉ lệ \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD, BC$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều bằng $5.$ Biết thể tích của khối tứ diện $ABCD $ đạt giá trị lớn nhất có dạng ${V_{\max }} = \dfrac{{x\sqrt y }}{4};\,\,x,y \in {N^*};\,\,(x;y) = 1$. Khi đó, $x,\,y$ thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây?
Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat {BAD} = {60^0}$, $AB’$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc ${30^0}$. Thể tích của khối hộp là
Cho khối chóp $S.ABC$ có điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3},\,\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua hai điểm $M, N$ và song song $SC$ chia khối chóp thành $2$ khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của khối đa diện có thể tích lớn hơn so với thể tích khối chóp $S.ABC.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó.
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh bằng $a,$ hình chiếu vuông góc của $A’$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ nằm trong tứ giác $ABCD,$ các cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ của hình hộp tạo với nhau một góc $60^0.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’.$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 3,BC = 4,AC = 5\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) biết rằng cắc mặt bên tạo với đáy một góc \({30^0}\) và hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác \(ABC\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\) trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số thể tích đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).
Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc $45^0$ và khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng \(a\). Tính thể tích của khối chóp đó.
