Cho khối chóp tứ giác $S.ABCD.$ Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác \(SAB,\;SAC,\;\;SAD\) chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là \({V_1}\) và \({V_2}\;\;\left( {{V_1} < {V_2}} \right).\) Tính tỉ lệ \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
-
A.
\(\dfrac{8}{{27}}\)
-
B.
\(\dfrac{{16}}{{81}}\)
-
C.
\(\dfrac{8}{{19}}\)
-
D.
\(\dfrac{{16}}{{75}}\)
- Các định thiết diện cắt bởi $(\alpha )$ với hình chóp.
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích.
Gọi \({G_1};{G_2};{G_3}\) lần lượt là trực tâm các tam giác SAB, SAC và SAD.
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, AC và AD ta có:
\(\dfrac{{S{G_1}}}{{SE}} = \dfrac{{S{G_2}}}{{SF}} = \dfrac{{S{G_3}}}{{SG}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//EF;\,\,{G_2}{G_3}//FG \Rightarrow \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//\left( {EFG} \right)\)
Hay \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//\left( {ABC} \right)\)
Qua \({G_1}\) kẻ MN // AB \(\left( {M \in SA;N \in SB} \right)\).
Qua \({G_3}\) kẻ \(MQ//AD\,\,\left( {Q \in SD} \right)\)
Qua N kẻ \(NP//BC\,\,\left( {N \in SC} \right)\)
\( \Rightarrow \) Thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)\) là \(\left( {MNPQ} \right)\), chia khối chóp thành hai phần : \(S.MNPQ\) và \(MNPQ.ABCD\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\).
Ta có \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ABC}}\)
\(\dfrac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{S.MPQ}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ACD}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.MNPQ}} = {V_{S.MNP}} + {V_{S.MPQ}} = \dfrac{8}{{27}}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ACD}}} \right) = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_1} = \dfrac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}};\,\,{V_2} = \dfrac{{19}}{{27}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{8}{{19}}\end{array}\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AD, BC$ thỏa mãn $A{B^2} + C{D^2} = 18$ và các cạnh còn lại đều bằng $5.$ Biết thể tích của khối tứ diện $ABCD $ đạt giá trị lớn nhất có dạng ${V_{\max }} = \dfrac{{x\sqrt y }}{4};\,\,x,y \in {N^*};\,\,(x;y) = 1$. Khi đó, $x,\,y$ thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây?
Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat {BAD} = {60^0}$, $AB’$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc ${30^0}$. Thể tích của khối hộp là
Cho khối chóp $S.ABC$ có điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3},\,\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua hai điểm $M, N$ và song song $SC$ chia khối chóp thành $2$ khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của khối đa diện có thể tích lớn hơn so với thể tích khối chóp $S.ABC.$
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD,$ đường cao $SO.$ Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng chứa $SO,$ thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng $a,$ tính thể tích khối chóp đã cho.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó.
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh bằng $a,$ hình chiếu vuông góc của $A’$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ nằm trong tứ giác $ABCD,$ các cạnh xuất phát từ đỉnh $A$ của hình hộp tạo với nhau một góc $60^0.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’.$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 3,BC = 4,AC = 5\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) biết rằng cắc mặt bên tạo với đáy một góc \({30^0}\) và hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác \(ABC\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\) trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số thể tích đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).
Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc $45^0$ và khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng \(a\). Tính thể tích của khối chóp đó.
