Cho a là một số thực dương.
a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{1}{n}}}\) sao cho \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.\)
b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{m}{n}}},\) với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.\)
Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?
Sử dụng công thức \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\).
Câu hỏi: Lấy ví dụ để chứng minh nếu \( a \le 0\) dẫn đến mâu thuẫn.
a) Ta có: \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a\) mà \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a\) nên \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\)
b) Theo câu a ta có \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}\) mà \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}\) nên \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)
Câu hỏi:
+ Giả sử định nghĩa lũy thừa với số mũ r là đúng với a < 0.
Xét lũy thừa $(-1)^{\frac{1}{3}}$. Theo định nghĩa ta có $(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-1)^1}=-1$
Mặt khác, do $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên $(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}$. Áp dụng định nghĩa ta lại có $(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$.
Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được $-1=1$
$ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1 $
Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.
+ Lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số a = 0 thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $0^{\frac{-1}{2}}= \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}$
Như vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0
Các bài tập cùng chuyên đề
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\,\,\,\left( {x,y > 0} \right).\)
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } :{x^{\frac{5}{8}}}(x > 0)\) ta được
A. \(\sqrt[4]{x}\)
B. \(\sqrt x \).
C. \(\sqrt[3]{x}\).
D. \(\sqrt[5]{x}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
a) \(\sqrt {{2^3}} \);
b) \(\sqrt[5]{{\frac{1}{{27}}}}\);
c) \({\left( {\sqrt[5]{a}} \right)^4}\).
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \({25^{\frac{1}{2}}}\);
b) \({\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\);
c) \({100^{1,5}}\).
Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa \(\left( {a > 0} \right)\):
a) \(3.\sqrt 3 .\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}\);
b) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } \);
c) \(\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}}{{{{\left( {\sqrt[5]{a}} \right)}^3}.{a^{\frac{2}{5}}}}}\).
Thực hiện các hoạt động sau:
a) So sánh: \({2^{\frac{6}{3}}}\) và \({2^2}\).
b) So sánh: \({2^{\frac{6}{3}}}\) và \(\sqrt[3]{{{2^6}}}\).
Điều kiện xác định của \(\sqrt[5]{{{x^3}}}\) là:
A. \(x \in \mathbb{R}\)
B. \(x \ne 0\)
C. \(x \ge 0\)
D. \(x > 0\)
Điều kiện xác định của \(\sqrt[8]{{{x^3}}}\) là:
A. \(x \in \mathbb{R}\)
B. \(x \ne 0\)
C. \(x \ge 0\)
D. \(x > 0\)
Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \({8^{ - \frac{2}{3}}}\);
b) \({32^{ - \frac{2}{5}}}\);
c) \({81^{1,25}}\);
d) \(1\;{000^{ - \frac{5}{3}}}\);
e) \({\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}}\);
g) \({\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\).
Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):
a) \({15^{\frac{2}{5}}}\);
b) \({20^{\frac{{ - 1}}{2}}}\);
c) \(5,{7^{2,4}}\);
d) \(0,{45^{ - 2,38}}\).
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,(a,b > 0)$ ta được:
Rút gọn biểu thức \(P=\sqrt{a.\sqrt[3]{{{a}^{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{{{a}^{7}}},\ \ \left( a>0 \right)\) ta được biểu thức dạng \({{a}^{\frac{m}{n}}},\) trong đó \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,\ \ n\in {{N}^{*}}.\) Tính giá trị \({{m}^{2}}+{{n}^{2}}.\)
Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P\) có dạng \(P = \dfrac{m}{{a + n}}\). Khi đó biểu thức liên hệ giữa \(m\) và \(n\) là:
\(P = \left( {\dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right).\dfrac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\)
Với a là số thực dương tùy ý, tích \({a^2}.{a^{\frac{1}{2}}}\) bằng
Rút gọn biểu thức \(P = {x^2}.\sqrt[3]{x}\), x > 0.
