Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa ${a^{\frac{1}{n}}}$ sao cho ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.$

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa ${a^{\frac{m}{n}}},$ với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.$

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\,\,\,\left( {x,y > 0} \right).$

Rút gọn biểu thức $\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } :{x^{\frac{5}{8}}}(x > 0)$ ta được

A. $\sqrt[4]{x}$                         

B. $\sqrt x$.                   

C. $\sqrt[3]{x}$.                        

D. $\sqrt[5]{x}$

Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $\sqrt {{2^3}}$;                

b) $\sqrt[5]{{\frac{1}{{27}}}}$;  

c) ${\left( {\sqrt[5]{a}} \right)^4}$.

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${25^{\frac{1}{2}}}$;          

b) ${\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$;      

c) ${100^{1,5}}$.

Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa $\left( {a > 0} \right)$:

a) $3.\sqrt 3 .\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}$;

b) $\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } }$;

c) $\frac{{\sqrt a .\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}}{{{{\left( {\sqrt[5]{a}} \right)}^3}.{a^{\frac{2}{5}}}}}$.

Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh: ${2^{\frac{6}{3}}}$ và ${2^2}$.

b) So sánh: ${2^{\frac{6}{3}}}$ và $\sqrt[3]{{{2^6}}}$.

Điều kiện xác định của $\sqrt[5]{{{x^3}}}$ là:

A. $x \in \mathbb{R}$

B. $x \ne 0$

C. $x \ge 0$

D. $x > 0$

Điều kiện xác định của $\sqrt[8]{{{x^3}}}$ là:

A. $x \in \mathbb{R}$

B. $x \ne 0$

C. $x \ge 0$

D. $x > 0$

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${8^{ - \frac{2}{3}}}$;

b) ${32^{ - \frac{2}{5}}}$;

c) ${81^{1,25}}$;

d) $1\;{000^{ - \frac{5}{3}}}$;

e) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}}$;

g) ${\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}$.

Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) ${15^{\frac{2}{5}}}$;

b) ${20^{\frac{{ - 1}}{2}}}$;

c) $5,{7^{2,4}}$;

d) $0,{45^{ - 2,38}}$.

Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,(a,b > 0)$ ta được:

Rút gọn biểu thức $P=\sqrt{a.\sqrt[3]{{{a}^{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}}}}:\sqrt[24]{{{a}^{7}}},\ \ \left( a>0 \right)$ ta được biểu thức dạng ${{a}^{\frac{m}{n}}},$ trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,\ \ n\in {{N}^{*}}.$ Tính giá trị ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}.$

Biểu thức thu gọn của biểu thức $P$ có dạng $P = \dfrac{m}{{a + n}}$. Khi đó biểu thức liên hệ giữa $m$ và $n$ là:

$P = \left( {\dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right).\dfrac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}$

Với a là số thực dương tùy ý, tích ${a^2}.{a^{\frac{1}{2}}}$ bằng

Rút gọn biểu thức $P = {x^2}.\sqrt[3]{x}$, x > 0.

Tập xác định của hàm số $y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}$ là

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$. Ta có:

Với a là số thực dương tuỳ ý, $\sqrt {{a^3}}$ bằng