Tìm nguyên hàm $F(x)$ của \(f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}\) biết $F(0) = 1$.
-
A.
\(F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\)
-
B.
\(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{e}} \right)^x} - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}\)
-
C.
\(F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} + \ln 2}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\)
-
D.
\(F\left( x \right) = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x}\)
Tách nguyên hàm ban đầu thành \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} .\)
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {2^x}\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.$, lưu ý đây là nguyên hàm quay đầu.
\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} \)
$= \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {2^x}\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {2^x}\ln 2dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.$
$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2\int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {C_2} = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2.I + {C_2} \\ \Leftrightarrow \left( {\ln 2 - 1} \right)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = \dfrac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{\ln 2 - 1}} + {C_2}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{\ln 2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = \dfrac{{{2^x}}}{{\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + C\\ \Rightarrow F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C = - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{{\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}} = \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{e}} \right)^x} - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}.\end{array}$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn công thức đúng:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right.\) thì:
Cho \(F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} \). Tính \(I = \int {f\left( x \right)dx} \) theo $F(x)$.
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
Tính \(\int {{x^3}\ln 3xdx} \)
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và $\int {f'(x)} dx = (ax + b){e^x} + c$ với $a, b, c$ là các hằng số. Chọn mệnh đề đúng:
Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$. Khi đó $b - a$ là
Ta có \( - \dfrac{{x + a}}{{{e^x}}}\) là một họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{e^x}}}\), khi đó:
\(\int {x\sin x\cos xdx} \) bằng:
Tính \(I = \int {\cos \sqrt x dx} \) ta được:
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số \(y = x.\cos x\) mà $F(0) = 1$. Phát biểu nào sau đây đúng:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0.\) Tính \(F\left( \pi \right)?\)
Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) ={\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \) là:
Tính \(I = \int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} \) ta được:
Tính \(I = \int {{e^{2x}}\cos 3xdx} \) ta được:
Nguyên hàm của hàm số \(y = {\dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx} \) là:
Tính \(\int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} \) ?
Biết rằng \(x{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { - x} \right)\) trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right){e^x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\), giá trị của \(F\left( { - 1} \right)\) bằng:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\), \(F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\) là một nguyên hàm của \(2020x.{e^x}\). Họ các nguyên hàm của \({f^{2020}}\left( x \right)\) là:
