Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số \(y = x.\cos x\) mà $F(0) = 1$. Phát biểu nào sau đây đúng:
-
A.
$F(x)$ là hàm chẵn.
-
B.
$F(x)$ là hàm lẻ.
-
C.
$F(x)$ là hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
-
D.
$F(x)$ không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần bằng cách đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right.,\) sau đó sử dụng giả thiết $F(0) = 1$ để tìm hằng số $C$ và xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm số $F(x)$ tìm được.
Ta có \(F\left( x \right) = \int {x.\cos xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x - \int {\sin xdx} + C = x\sin x + \cos x + C.\) \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow 0\sin 0 + \cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x + \cos x\)
Ta có: \(F\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = x\sin x + \cos x = F\left( x \right) \Rightarrow F\left( x \right)\) là hàm chẵn.
Đáp án : A
Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt $u$ là hàm đa thức.
Một số hs có thể nhầm lẫn $\sin (-x)=\sin x, \cos(-x)= - \cos x$ dẫn đến $F(-x)= - F(x)$ và chọn đáp án B là sai.
Danh sách bình luận