Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right)\). Tính số đo góc \(C\) của tam giác \(ABC\)
-
A.
\({30^0}\)
-
B.
\({90^0}\)
-
C.
\({60^0}\)
-
D.
\({40^0}\)
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, công thức lượng giác của các cung đặc biệt để biến đổi dữ kiện đề cho.
\(\begin{array}{l}\sin \left( \alpha \right) + \sin \left( \beta \right) = 2\sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right)\\\cos \left( \alpha \right) + \cos \left( \beta \right) = 2\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right)\end{array}\)
Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\)
\(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\) \(\left( 1 \right)\)
Nếu: \(\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{A - B}}{2} = {90^0} \Rightarrow A - B = {180^0} = A + B + C \Leftrightarrow 2B + C = 0\)vô lý
Nếu: \(\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \ne 0\) khi đó
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \sin \left( {\frac{C}{2}} \right)\) do \(\frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{C}{2} \Leftrightarrow A + B = C \Leftrightarrow {180^0} - C = C \Rightarrow C = {90^0}\)
Đáp án : B
Danh sách bình luận