Cho \(\cot \left( \alpha \right) = \frac{2}{3}\). Tính \(\sin \left( {2\alpha + \frac{{7\pi }}{4}} \right)\)
-
A.
\(\frac{{17\sqrt 2 }}{{26}}\)
-
B.
\( - \frac{{17\sqrt 2 }}{{26}}\)
-
C.
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{26}}\)
-
D.
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{{26}}\)
Sử dụng công thức nhân đôi:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \); \(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \).
Sử dụng công thức:
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Sử dụng công thức cộng:
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin \left( a \right)\cos \left( b \right) - \cos \left( a \right)\sin \left( b \right)\)
Từ \(\cot \left( \alpha \right) = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \left( \alpha \right) = \frac{3}{2}\).
Ta có:
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\cos ^2}\alpha = 2\tan \alpha \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\)
\( = \frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{{2.\frac{2}{3}}}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Ta có:
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\);
\(1 - {\tan ^2}\alpha = 1 - \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\cos 2\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Vậy \(\frac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{\cos 2\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \cos 2\alpha \), suy ra \(\cos 2\alpha = \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{13}}\).
Ta có \(\sin \left( {2\alpha + \frac{{7\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {2\alpha - \frac{\pi }{4} + 2\pi } \right) = \sin \left( {2\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( = \sin \left( {2\alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {2\alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{12}}{{13}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \left( {\frac{{ - 5}}{{13}}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{17\sqrt 2 }}{{26}}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
Cho tam giác nhọn ABC. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng ?
Chọn khẳng định sai:
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin \left( x \right) = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos \left( x \right)\)
Cho \(\tan \left( x \right) = 5\). Tính giá trị của \(P = \frac{{3\sin \left( x \right) - 4\cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right) + 2\sin \left( x \right)}}\)
Cho \(\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \alpha \right) = \frac{5}{4}\), khi đó \(\sin \left( {2\alpha } \right)\) có giá trị bằng:
Cho \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính giá trị của \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Thu gọn biểu thức \(P = {\sin ^6}\left( x \right) + {\cos ^6}\left( x \right)\)
Biểu thức \(Q = \frac{{1 + \sin \left( {4a} \right) - \cos \left( {4a} \right)}}{{1 + \sin \left( {4a} \right) + \cos \left( {4a} \right)}}\) bằng biểu thức nào sau đây:
Cho góc nhọn \(a,b\) thỏa mãn \(\tan \left( a \right) = \frac{1}{7},{\rm{ tan}}\left( b \right) = \frac{3}{4}\). Tính \(a + b\)
Rút gọn biểu thức \(A = {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) - 2\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) ta được kết quả
Cho góc lượng giác \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{{\sin \left( {2\alpha } \right) + \sin \left( {5\alpha } \right) - \sin \left( {3\alpha } \right)}}{{2{{\cos }^2}\left( {2\alpha } \right) + \cos \left( \alpha \right) - 1}} = - 2\). Tính\(\sin \left( \alpha \right)\).
Tính tổng \(S = {\sin ^2}{5^0} + {\sin ^2}{10^0} + {\sin ^2}{15^0} + ... + {\sin ^2}{85^0}\)
Tính các góc của tam giác \(ABC\) biết \(\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}}}} \right)^3}\)
Nếu \(\tan \left( \alpha \right)\) và \(\tan \left( \beta \right)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0,{\rm{ }}(q \ne 1)\) thì giá trị của biểu thức \(Q = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + p\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + q{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\) bằng
Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right)\). Tính số đo góc \(C\) của tam giác \(ABC\)
