Tính các góc của tam giác \(ABC\) biết \(\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}}}} \right)^3}\)
-
A.
\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\)
-
B.
\(\widehat A = {90^0};\widehat B = {60^0};\widehat C = {30^0}\)
-
C.
\(\widehat A = {90^0};\widehat A = {30^0};\widehat C = {60^0}\)
-
D.
\(\widehat A = {90^0};\widehat B = {45^0};\widehat A = {450^0}\)
Chứng minh \(1 + \frac{1}{{\sin A}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}}}\) từ đó tìm dấu \( = \) xảy ra khi nào để tính các góc
\(\begin{array}{l}\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sin A + 1} \right)\left( {\sin B + 1} \right)\left( {\sin C + 1} \right)}}{{\sin A.\sin B.\sin C}} = {\left( {\frac{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}} + 1}}{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \left( {\sin A + 1} \right)\left( {\sin B + 1} \right)\left( {\sin C + 1} \right) = {\left( {\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}} + 1} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \sin A.\sin B.\sin C + \sin A.\sin B + \sin B.\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C + 1\\ = \sin A.\sin B.\sin C + 3\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {\sin A.\sin B.\sin C} \right)}^2}}} + 1\\ \Leftrightarrow \sin A.\sin B + \sin B.\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C\\ = 3\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {\sin A.\sin B.\sin C} \right)}^2}}}\end{array}\)
Ta có \(A,B,C\) là các góc trong tam giác \( \Rightarrow 0 < \sin A,\sin B,\sin C \le 1\)
Áp dụng bất đẳng sức cô si ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin A.\sin B + \sin B.\sin C + \sin A\sin C \ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A.{{\sin }^2}B.{{\sin }^2}C}}\\\sin A + \sin B + \sin C \ge 3\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin A.\sin B + \sin B.\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C\\ \ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A.{{\sin }^2}B.{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}\end{array}\)
Dấu \( = \) xảy ra \( \Leftrightarrow \sin A = \sin B = \sin C\)
\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
Cho tam giác nhọn ABC. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng ?
Chọn khẳng định sai:
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin \left( x \right) = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos \left( x \right)\)
Cho \(\tan \left( x \right) = 5\). Tính giá trị của \(P = \frac{{3\sin \left( x \right) - 4\cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right) + 2\sin \left( x \right)}}\)
Cho \(\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \alpha \right) = \frac{5}{4}\), khi đó \(\sin \left( {2\alpha } \right)\) có giá trị bằng:
Cho \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính giá trị của \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Thu gọn biểu thức \(P = {\sin ^6}\left( x \right) + {\cos ^6}\left( x \right)\)
Biểu thức \(Q = \frac{{1 + \sin \left( {4a} \right) - \cos \left( {4a} \right)}}{{1 + \sin \left( {4a} \right) + \cos \left( {4a} \right)}}\) bằng biểu thức nào sau đây:
Cho góc nhọn \(a,b\) thỏa mãn \(\tan \left( a \right) = \frac{1}{7},{\rm{ tan}}\left( b \right) = \frac{3}{4}\). Tính \(a + b\)
Cho \(\cot \left( \alpha \right) = \frac{2}{3}\). Tính \(\sin \left( {2\alpha + \frac{{7\pi }}{4}} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(A = {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) - 2\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) ta được kết quả
Cho góc lượng giác \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{{\sin \left( {2\alpha } \right) + \sin \left( {5\alpha } \right) - \sin \left( {3\alpha } \right)}}{{2{{\cos }^2}\left( {2\alpha } \right) + \cos \left( \alpha \right) - 1}} = - 2\). Tính\(\sin \left( \alpha \right)\).
Tính tổng \(S = {\sin ^2}{5^0} + {\sin ^2}{10^0} + {\sin ^2}{15^0} + ... + {\sin ^2}{85^0}\)
Nếu \(\tan \left( \alpha \right)\) và \(\tan \left( \beta \right)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0,{\rm{ }}(q \ne 1)\) thì giá trị của biểu thức \(Q = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + p\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + q{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\) bằng
Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right)\). Tính số đo góc \(C\) của tam giác \(ABC\)
