Nếu \(\tan \left( \alpha \right)\) và \(\tan \left( \beta \right)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0,{\rm{ }}(q \ne 1)\) thì giá trị của biểu thức \(Q = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + p\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + q{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\) bằng
-
A.
\(q\)
-
B.
\(p\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Áp dụng định lí vi - et và công thức lượng giác để tính
\(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \left( \alpha \right) + \tan \left( \beta \right)}}{{1 - \tan \left( \alpha \right).\tan \left( \beta \right)}}\)
Áp dụng công thức \({\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}\) tính \({\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\) theo \(p,q\)
Nhân và chia biểu thức Q cho \({\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0\)biến đổi biểu thức suy ra đáp án.
Ta có \(\tan \left( \alpha \right)\) và \(\tan \left( \beta \right)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0,{\rm{ }}(q \ne 1)\)
Theo định lí Vi-ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\tan \left( \alpha \right) + \tan \left( \beta \right) = p\\\tan \left( \alpha \right).\tan \left( \beta \right) = q\end{array} \right. \Rightarrow \tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \left( \alpha \right) + \tan \left( \beta \right)}}{{1 - \tan \left( \alpha \right).\tan \left( \beta \right)}} = \frac{p}{{1 - q}}\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{p^2}}}{{{{(1 - q)}^2}}}}} = \frac{{{{(1 - q)}^2}}}{{{{(1 - q)}^2} + {p^2}}}\\q \ne 1 \Rightarrow \frac{{\sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)}}{{\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)}} \ne 1 \Rightarrow \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) \ne \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)\\ \Rightarrow \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) \ne 0\\ \Rightarrow Q = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {1 + p.\frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \beta } \right)}} + q.\frac{{{{\sin }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}} \right]\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {1 + p.\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + q.{{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ = \frac{{{{(1 - q)}^2}}}{{{{(1 - q)}^2} + {p^2}}}\left[ {1 + \frac{{{p^2}}}{{1 - q}} + \frac{{{p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{{{(1 - q)}^2}}}{{{{(1 - q)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{(1 - q)}^2} + {p^2}(1 - q) + {p^2}q}}{{{{(1 - q)}^2}}}\\ = 1\end{array}\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
Cho tam giác nhọn ABC. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng ?
Chọn khẳng định sai:
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin \left( x \right) = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos \left( x \right)\)
Cho \(\tan \left( x \right) = 5\). Tính giá trị của \(P = \frac{{3\sin \left( x \right) - 4\cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right) + 2\sin \left( x \right)}}\)
Cho \(\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \alpha \right) = \frac{5}{4}\), khi đó \(\sin \left( {2\alpha } \right)\) có giá trị bằng:
Cho \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính giá trị của \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Thu gọn biểu thức \(P = {\sin ^6}\left( x \right) + {\cos ^6}\left( x \right)\)
Biểu thức \(Q = \frac{{1 + \sin \left( {4a} \right) - \cos \left( {4a} \right)}}{{1 + \sin \left( {4a} \right) + \cos \left( {4a} \right)}}\) bằng biểu thức nào sau đây:
Cho góc nhọn \(a,b\) thỏa mãn \(\tan \left( a \right) = \frac{1}{7},{\rm{ tan}}\left( b \right) = \frac{3}{4}\). Tính \(a + b\)
Cho \(\cot \left( \alpha \right) = \frac{2}{3}\). Tính \(\sin \left( {2\alpha + \frac{{7\pi }}{4}} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(A = {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) - 2\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) ta được kết quả
Cho góc lượng giác \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{{\sin \left( {2\alpha } \right) + \sin \left( {5\alpha } \right) - \sin \left( {3\alpha } \right)}}{{2{{\cos }^2}\left( {2\alpha } \right) + \cos \left( \alpha \right) - 1}} = - 2\). Tính\(\sin \left( \alpha \right)\).
Tính tổng \(S = {\sin ^2}{5^0} + {\sin ^2}{10^0} + {\sin ^2}{15^0} + ... + {\sin ^2}{85^0}\)
Tính các góc của tam giác \(ABC\) biết \(\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A.\sin B.\sin C}}}}} \right)^3}\)
Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\sin \left( A \right) + \sin \left( B \right) = \cos \left( A \right) + \cos \left( B \right)\). Tính số đo góc \(C\) của tam giác \(ABC\)
