Đề bài

Định $k$ để phương trình: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$ có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$.

A.

$k < - 8$.
B.

$ - 8 < k < 1$.
C.

$0 < k < 1$.
D.

Không tồn tại $k$.

Phương pháp giải

- Đặt $t = x - \dfrac{2}{x}$ với chú ý với mỗi giá trị của $t$ ta đều tìm được hai nghiệm $x$ trái dấu.

- Tìm nghiệm ${t_1},{t_2}$ của phương trình ẩn $t$ rồi thay lần lượt ${t_1},{t_2}$ vào phương trình $t = x - \dfrac{2}{x}$ và tìm điều kiện để mỗi phương trình này có $1$ nghiệm $x > 1$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k + 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Đặt $t = x - \dfrac{2}{x}$ hay ${x^2} - tx - 2 = 0$, phương trình trở thành ${t^2} - 4t + k + 3 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Nhận xét: với mỗi nghiệm $t$ của phương trình $\left( 2 \right)$ cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình $\left( 1 \right)$

Ta có :

$\Delta ' = 4 - \left( {k + 3} \right) = 1 - k \Rightarrow $ phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} ,{t_2} = 2 + \sqrt {1 - k} $ với $k < 1$

+) Với ${t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} $ thì phương trình ${x^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0$ có $1$ nghiệm $x > 1$ $ \Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0$ $ \Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0$ $ \Leftrightarrow k > - 8$

+) Với ${t_2} = 2 + \sqrt {1 - k} $ thì phương trình ${x^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0$ có $1$ nghiệm $x > 1$ $ \Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0$ $ \Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0$$ \Leftrightarrow - 3 - \sqrt {1 - k} < 0$ (luôn đúng với $k < 1$ )

Vậy kết hợp điều kiện $k < 1$ ta được $ - 8 < k < 1$

Đáp án : B

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Phương trình $\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt khi :