Tìm $m$ để phương trình: ${\left( {{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}-{\rm{ }}2m\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 4m-1 = 0$ có đúng hai nghiệm.
-
A.
$3 < m < 4$.
-
B.
$m < 2 - \sqrt 3 \vee m > 2 + \sqrt 3 $.
-
C.
$2 + \sqrt 3 < m < 4$.
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m > 4\end{array} \right.\).
- Đặt \(t = {x^2} + 2x + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\) đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\)
- Phương trình đã cho có đúng \(2\) nghiệm khi và chỉ khi phương trình ẩn \(t\) chỉ có \(1\) nghiệm \(t > 3\) (nghĩa là hoặc có nghiệm kép lớn hơn \(3\) hoặc có hai nghiệm phân biệt \({t_1} < 3 < {t_2}\))
Đặt \(t = {x^2} + 2x + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), phương trình trở thành
\({t^2} - 2mt + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm \(t > 3\) của phương trình \(\left( 2 \right)\) cho ta hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\). Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng hai nghiệm khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có đúng một nghiệm \(t > 3\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\x = - \dfrac{b}{2a} > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left( 3 \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 = 0\\m > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\1.\left( {{3^2} - 2m.3 + 4m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m > 4\end{array} \right.\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi :
Cho phương trình \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2} + 2\left( {3 - m} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {m^2} - 6m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình: ${x^4} + 2{x^2} + a = 0$$\left( 1 \right)$ có đúng $4$ nghiệm
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: \({x^6} + 2003{x^3} - 2005 = 0\)
Cho phương trình\(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\;\;\left( 1 \right)\;\;\left( {a \ne 0} \right)\). Đặt:\(\Delta = {b^2} - 4ac\), \(S = \dfrac{{ - b}}{a}\), \(P = \dfrac{c}{a}\). Ta có \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm khi và chỉ khi :
Phương trình \({x^4} + \left( {\sqrt {65} - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\left( {8 + \sqrt {63} } \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Phương trình \( - {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right){x^2} + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Phương trình \(\sqrt 2 {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right){x^2} + \sqrt {12} = 0\)
Cho phương trình\({x^4} + {x^2} + m = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng:
Phương trình \( - {x^4} + \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right){x^2} = 0\) có:
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm:\({x^4} - 2005{x^2} - 13 = 0\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình:\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 2m -1= 0\) có đúng $3$ nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;0} \right].\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : ${x^2} + \dfrac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11$ gần nhất với số nào dưới đây?
Định $m$ để phương trình :\(\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 + 2m = 0\) có nghiệm
Định $k$ để phương trình: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$ có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$.
Trong \(\left[ {1;10} \right]\) có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình \(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\) có hai nghiệm phân biệt?
