-
Chương 1. Đa thức
-
Chương 2. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng
-
Chương 3. Tứ giác
-
Chương 4. Định lí Thales
-
Chương 5. Dữ liệu và biểu đồ
-
Chương 6. Phân thức đại số
-
Chương 7. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất
-
Chương 8. Mở đầu về tính xác suất của biến cố
-
Chương 9. Tam giác đồng dạng
-
Chương 10. Một số hình khối trong thực tiễn
Trắc nghiệm Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thức
Đề bài
Chọn câu đúng?
-
A.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) .
-
B.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) .
-
C.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB - {B^2}\) .
-
D.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - AB + {B^2}\) .
Khai triển \({x^2} - {y^2}\) ta được
-
A.
\(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\) .
-
B.
\({x^2} - 2xy + {y^2}\) .
-
C.
\({x^2} + 2xy + {y^2}\) .
-
D.
\(\left( {x - y} \right) + \left( {x + y} \right)\) .
Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
-
A.
\(x\left( {2x + 1} \right) = 2{x^2} + x\) .
-
B.
\(2x + 1 = {x^2} + 6\) .
-
C.
\({x^2} - x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\) .
-
D.
\(x + 1 = 3x - 1\) .
Biểu thức \(4{x^2} - 4x + 1\) được viết dưới dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu là
-
A.
\({\left( {2x - 1} \right)^2}\) .
-
B.
\({\left( {2x + 1} \right)^2}\) .
-
C.
\({\left( {4x - 1} \right)^2}\) .
-
D.
\(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\) .
Viết biểu thức \(25{x^2} + 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một tổng.
-
A.
\({\left( {25x + 4y} \right)^2}\) .
-
B.
\({\left( {5x + 2y} \right)^2}\) .
-
C.
\(\left( {5x - 2y} \right)\left( {5x + 2y} \right)\) .
-
D.
\({\left( {25x + 4} \right)^2}\) .
Cho biết \({99^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) với \(a,\,b \in \mathbb{R}\) . Khi đó
-
A.
\(a = 98,\,b = 1\) .
-
B.
\(a = 100,\,b = 1\) .
-
C.
\(a = 100,\,b = - 1\) .
-
D.
\(a = 98,\,b = - 1\) .
Điền vào chỗ chấm trong khai triển hằng đẳng thức sau: \({\left( {... + 1} \right)^2} = \frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) .
-
A.
\(\frac{1}{4}{x^2}{y^2}\) .
-
B.
\(\frac{1}{2}xy\) .
-
C.
\(\frac{1}{4}xy\) .
-
D.
\(\frac{1}{2}{x^2}{y^2}\) .
Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A.
\(P = 1\) .
-
B.
\(P = - 15x + 1\) .
-
C.
\(P = - 1\) .
-
D.
\(P = 15x + 1\) .
Viết \({101^2} - {99^2}\) dưới dạng tích hoặc bình phương của một tổng (hiệu).
-
A.
\({\left( {101 - 99} \right)^2}\) .
-
B.
\(\left( {101 - 99} \right)\left( {101 + 99} \right)\) .
-
C.
\({\left( {101 + 99} \right)^2}\) .
-
D.
\({\left( {99 - 101} \right)^2}\) .
Tìm \(x\) biết \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9\)
-
A.
\(x = 9\) .
-
B.
\(x = 1\) .
-
C.
\(x = - 9\) .
-
D.
\(x = - 1\) .
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\) .
-
A.
\(1\) .
-
B.
\(3\) .
-
C.
\(2\) .
-
D.
\(4\) .
So sánh \(P = 2015.2017.a\) và \(Q = {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\) .
-
A.
\(P > Q\) .
-
B.
\(P = Q\) .
-
C.
\(P < Q\) .
-
D.
\(P \ge Q\) .
Cho biết \({\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right) = ax + b\) . Khi đó
-
A.
\(a = 30; b = 6\) .
-
B.
\(a = - 6; b = - 30\) .
-
C.
\(a = 6; b = 30\) .
-
D.
\(a = - 30; b = - 6\) .
Cho \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}; N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(M, N\) ?
-
A.
\(N = 14M - 1\) .
-
B.
\(N = 14M\) .
-
C.
\(N = 14M + 1\) .
-
D.
\(N = 14M - 2\) .
Cho biểu thức \(T = {x^2} + 20x + 101\) . Khi đó
-
A.
\(T \le 1\) .
-
B.
\(T \le 101\) .
-
C.
\(T \ge 1\) .
-
D.
\(T \ge 100\) .
Cho biểu thức \(\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\) . Giá trị của biểu thức \(\;N\) khi \(\;x = 1001\) là
-
A.
\(\;1001\) .
-
B.
\(\;1\) .
-
C.
\(\; - 34\) .
-
D.
\(\;20\) .
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\;Q = 8-8x-{x^2}\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\( - 4\) .
-
C.
\(24\) .
-
D.
\(\; - 24\) .
Biết giá trị \(x = a \left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn biểu thức \(\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0\) , bội của \(a\) là
-
A.
\(25\) .
-
B.
\(18\) .
-
C.
\(24\) .
-
D.
\(\;9\) .
Cho cặp số \(\left( {x;y} \right)\) để biểu thức \({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5\) có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(x + 2y\) bằng
-
A.
\(1\) .
-
B.
\(0\) .
-
C.
\(2\) .
-
D.
\(4\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) đạt tại \(x = b\) . Khi đó, căn bậc hai số học của \(b\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\( \pm 4\) .
-
C.
\(0\) .
-
D.
\(16\) .
Cho biểu thức \(M = {79^2} + {77^2} + {75^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {78^2} + {76^2} + {74^2} + ... + {4^2} + {2^2}\) . Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{M - N}}{2}\) .
-
A.
\(1508\) .
-
B.
\(3160\) .
-
C.
\(1580\) .
-
D.
\(3601\) .
Cho đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) . Khi đó
-
A.
\(a = - b = - c\) .
-
B.
\(a = b = \frac{c}{2}\) .
-
C.
\(a = b = c\) .
-
D.
\(a = 2b = 3c\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\(3\) .
-
C.
\(2\) .
-
D.
\(5\) .
Lời giải và đáp án
Chọn câu đúng?
-
A.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) .
-
B.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) .
-
C.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB - {B^2}\) .
-
D.
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - AB + {B^2}\) .
Đáp án : A
Khai triển \({x^2} - {y^2}\) ta được
-
A.
\(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\) .
-
B.
\({x^2} - 2xy + {y^2}\) .
-
C.
\({x^2} + 2xy + {y^2}\) .
-
D.
\(\left( {x - y} \right) + \left( {x + y} \right)\) .
Đáp án : A
Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
-
A.
\(x\left( {2x + 1} \right) = 2{x^2} + x\) .
-
B.
\(2x + 1 = {x^2} + 6\) .
-
C.
\({x^2} - x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\) .
-
D.
\(x + 1 = 3x - 1\) .
Đáp án : A
Loại đáp án B, C, D vì khi ta thay \(x = 2\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
Biểu thức \(4{x^2} - 4x + 1\) được viết dưới dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu là
-
A.
\({\left( {2x - 1} \right)^2}\) .
-
B.
\({\left( {2x + 1} \right)^2}\) .
-
C.
\({\left( {4x - 1} \right)^2}\) .
-
D.
\(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\) .
Đáp án : A
Viết biểu thức \(25{x^2} + 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một tổng.
-
A.
\({\left( {25x + 4y} \right)^2}\) .
-
B.
\({\left( {5x + 2y} \right)^2}\) .
-
C.
\(\left( {5x - 2y} \right)\left( {5x + 2y} \right)\) .
-
D.
\({\left( {25x + 4} \right)^2}\) .
Đáp án : B
Cho biết \({99^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) với \(a,\,b \in \mathbb{R}\) . Khi đó
-
A.
\(a = 98,\,b = 1\) .
-
B.
\(a = 100,\,b = 1\) .
-
C.
\(a = 100,\,b = - 1\) .
-
D.
\(a = 98,\,b = - 1\) .
Đáp án : B
Điền vào chỗ chấm trong khai triển hằng đẳng thức sau: \({\left( {... + 1} \right)^2} = \frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) .
-
A.
\(\frac{1}{4}{x^2}{y^2}\) .
-
B.
\(\frac{1}{2}xy\) .
-
C.
\(\frac{1}{4}xy\) .
-
D.
\(\frac{1}{2}{x^2}{y^2}\) .
Đáp án : B
Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A.
\(P = 1\) .
-
B.
\(P = - 15x + 1\) .
-
C.
\(P = - 1\) .
-
D.
\(P = 15x + 1\) .
Đáp án : B
Viết \({101^2} - {99^2}\) dưới dạng tích hoặc bình phương của một tổng (hiệu).
-
A.
\({\left( {101 - 99} \right)^2}\) .
-
B.
\(\left( {101 - 99} \right)\left( {101 + 99} \right)\) .
-
C.
\({\left( {101 + 99} \right)^2}\) .
-
D.
\({\left( {99 - 101} \right)^2}\) .
Đáp án : B
Tìm \(x\) biết \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9\)
-
A.
\(x = 9\) .
-
B.
\(x = 1\) .
-
C.
\(x = - 9\) .
-
D.
\(x = - 1\) .
Đáp án : C
\(\begin{array}{l}\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} - {6^2} - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9\\ \Leftrightarrow {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 = 9\\ \Leftrightarrow - 6x = 9 + 9 + 36 \\ \Leftrightarrow - 6x = 54\\ \Leftrightarrow x = - 9\end{array}\)
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\) .
-
A.
\(1\) .
-
B.
\(3\) .
-
C.
\(2\) .
-
D.
\(4\) .
Đáp án : C
\(\begin{array}{l}{\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {3x - 4} \right) - \left( {2x - 1} \right)} \right].\left[ {\left( {3x - 4} \right) + \left( {2x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 4 - 2x + 1} \right)\left( {3x - 4 + 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {5x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\5x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\5x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
So sánh \(P = 2015.2017.a\) và \(Q = {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\) .
-
A.
\(P > Q\) .
-
B.
\(P = Q\) .
-
C.
\(P < Q\) .
-
D.
\(P \ge Q\) .
Đáp án : C
Vì \({2016^2} - 1 < {2016^2} \Rightarrow \left( {{{2016}^2} - 1} \right).a < {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\)
\( \Rightarrow 2015.2017.a < {2016^2}.a\) hay \(P < Q\)
Cho biết \({\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right) = ax + b\) . Khi đó
-
A.
\(a = 30; b = 6\) .
-
B.
\(a = - 6; b = - 30\) .
-
C.
\(a = 6; b = 30\) .
-
D.
\(a = - 30; b = - 6\) .
Đáp án : C
\(\begin{array}{l} {\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right)\\\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {3x} \right)}^2}\;-2.3x.1 + {1^2}\; + 2\left( {{x^2}\; + 6x + 9} \right) + 11\left( {1-{x^2}} \right)}\\{ = 9{x^2}\;-6x + 1 + 2{x^2}\; + 12x + 18 + 11-11{x^2}\;}\\\begin{array}{l} = \left( {9{x^2}\; + 2{x^2}\;-11{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 12x} \right){{ + }}\left( {1 + 18 + 11} \right)\\ = 6x + 30\end{array}\end{array}\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 6; b = 30\)
Cho \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}; N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(M, N\) ?
-
A.
\(N = 14M - 1\) .
-
B.
\(N = 14M\) .
-
C.
\(N = 14M + 1\) .
-
D.
\(N = 14M - 2\) .
Đáp án : C
\(N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 20x + 25 + 25{x^2} - 20x + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\)
Ta thấy: \(29 = 14.2 + 1 \Rightarrow N = 14M + 1\)
Cho biểu thức \(T = {x^2} + 20x + 101\) . Khi đó
-
A.
\(T \le 1\) .
-
B.
\(T \le 101\) .
-
C.
\(T \ge 1\) .
-
D.
\(T \ge 100\) .
Đáp án : C
\(\begin{array}{l}T = {x^2} + 20x + 101 = \left( {{x^2} + 2.10x + 100} \right) + 1 = {\left( {x + 10} \right)^2} + 1 \ge 1 \left( {{{\left( {x + 10} \right)}^2} \ge 0, \forall x} \right)\\ \Rightarrow T \ge 1\end{array}\)
Cho biểu thức \(\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\) . Giá trị của biểu thức \(\;N\) khi \(\;x = 1001\) là
-
A.
\(\;1001\) .
-
B.
\(\;1\) .
-
C.
\(\; - 34\) .
-
D.
\(\;20\) .
Đáp án : C
\(\begin{array}{l}\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {{x^2}\;-2x + 1} \right)-4\left( {9 + 6x + {x^2}} \right) + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = 2{x^2}\;-4x + 2-36-24x-4{x^2}\; + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = \left( {2{x^2}\; + 2{x^2}\;-4{x^2}} \right) + \left( { - 4x-24x + 28x} \right) + 2-36}\\{ = - 34}\end{array}\end{array}\)
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\;Q = 8-8x-{x^2}\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\( - 4\) .
-
C.
\(24\) .
-
D.
\(\; - 24\) .
Đáp án : C
Dấu = xảy ra khi \(A + B = 0\) .
Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0 \forall x \Rightarrow - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0 \forall x \Rightarrow - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \le 24 \forall x\)
Dấu = xảy ra khi \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4\) . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 24 khi \(x = - 4\) .
Biết giá trị \(x = a \left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn biểu thức \(\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0\) , bội của \(a\) là
-
A.
\(25\) .
-
B.
\(18\) .
-
C.
\(24\) .
-
D.
\(\;9\) .
Đáp án : C
\(\begin{array}{l}\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right]\left[ {\left( {2x + 1} \right) + \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1 - x - 5} \right)\left( {2x + 1 + x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {3x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\3x + 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\3x = - 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 4\) . Vậy bội của 4 là \(24\) .
Cho cặp số \(\left( {x;y} \right)\) để biểu thức \({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5\) có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(x + 2y\) bằng
-
A.
\(1\) .
-
B.
\(0\) .
-
C.
\(2\) .
-
D.
\(4\) .
Đáp án : C
Dấu = xảy ra khi \({\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(m\) .
\({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5 = \left( {{x^2}-8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 12 = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12\)
Vì \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\forall x;{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\forall y \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\forall x,y\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 1\end{array} \right.\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \( - 12\) khi \(x = 4;y = - 1 \Rightarrow x + 2y = 4 + 2.\left( { - 1} \right) = 2\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) đạt tại \(x = b\) . Khi đó, căn bậc hai số học của \(b\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\( \pm 4\) .
-
C.
\(0\) .
-
D.
\(16\) .
Đáp án : C
Dấu = xảy ra khi \(x = 0\) .
Nhớ lại căn bậc hai số học của một số không âm \(a\) có dạng \(\sqrt a \) .
\(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 + 9{x^2} + 6x + 1 + 18{x^2} + 14 = 36{x^2} + 16 \ge 16\left( {{x^2} \ge 0 \Rightarrow 36{x^2} \ge 0} \right)\)
Dấu = xảy ra khi \(x = 0\), suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \(16\) khi \(x = 0 \Rightarrow b = 0\) .
Vậy căn bậc hai số học của 0 là 0.
Cho biểu thức \(M = {79^2} + {77^2} + {75^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {78^2} + {76^2} + {74^2} + ... + {4^2} + {2^2}\) . Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{M - N}}{2}\) .
-
A.
\(1508\) .
-
B.
\(3160\) .
-
C.
\(1580\) .
-
D.
\(3601\) .
Đáp án : C
Áp dụng công thức tính tổng n số tự nhiên liên tiếp \(1,2,3,...,n\) là \(\frac{{1 + n}}{2}.n\)
\(\begin{array}{l}M - N = \left( {{{79}^2} + {{77}^2} + {{75}^2} + ... + {3^2} + {1^2}} \right) - \left( {{{78}^2} + {{76}^2} + {{74}^2} + ... + {2^2}} \right)\\ = \left( {{{79}^2} - {{78}^2}} \right) + \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\\ = \left( {79 - 78} \right)\left( {79 + 78} \right) + \left( {77 - 76} \right)\left( {77 + 76} \right) + \left( {75 - 74} \right)\left( {75 + 74} \right) + ... + \left( {3 - 2} \right)\left( {3 + 2} \right) + 1\\ = 79 + 78 + 77 + 76 + 75 + 74 + ... + 3 + 2 + 1\\ = \frac{{79 + 1}}{2}.79 = 3160\\ \Rightarrow \frac{{M - N}}{2} = \frac{{3160}}{2} = 1580\end{array}\)
Cho đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) . Khi đó
-
A.
\(a = - b = - c\) .
-
B.
\(a = b = \frac{c}{2}\) .
-
C.
\(a = b = c\) .
-
D.
\(a = 2b = 3c\) .
Đáp án : C
\({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2BC + 2CA;{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) .
Sử dụng \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ge 0\forall A,B,C\) . Dấu = xảy ra khi \(A = B = C = 0\)
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ca + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array}\)
Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\forall a,b,c\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
-
A.
\(4\) .
-
B.
\(3\) .
-
C.
\(2\) .
-
D.
\(5\) .
Đáp án : D
Dấu = xảy ra khi \({\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(m\) .
Ta có
\(\begin{array}{l}T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\\ = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\end{array}\)
Ta thấy \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 4 + 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 1 + 4\\ \Rightarrow T \ge 5\end{array}\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(5\) khi \(x = - 2\)
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Lập phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài 39: Hình chóp tứ giác đều Toán 8 Kết nối tri thức
- Trắc nghiệm Bài 38: Hình chóp tam giác đều Toán 8 Kết nối tri thức
- Trắc nghiệm Bài 37: Hình đồng dạng Toán 8 Kết nối tri thức
- Trắc nghiệm Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông Toán 8 Kết nối tri thức
- Trắc nghiệm Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng Toán 8 Kết nối tri thức
