Tổng, hiệu, tích của vecto - Từ điển môn Toán 10 1. Định nghĩa tổng của hai vecto
Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} \).
Cho hai vecto $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$. Vecto $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.
Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.
2. Các quy tắc tính tổng của hai vecto
a) Quy tắc ba điểm
Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có \(\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} \).
b) Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD}= \overrightarrow {AC} \).
3. Tính chất phép cộng vecto
- Giao hoán: \(\overrightarrow a+ \overrightarrow b= \overrightarrow b+ \overrightarrow a \).
- Kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a+ \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c= \overrightarrow a+ \left( {\overrightarrow b+ \overrightarrow c } \right)\).
- Cộng với vecto-không: \(\overrightarrow a+ \overrightarrow 0= \overrightarrow 0+ \overrightarrow a= \overrightarrow a \).
4. Ví dụ minh hoạ về tổng của hai vecto
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {MC}= \overrightarrow {AM} \).
Giải:
Vì \(\overrightarrow {MC}= \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {MC}= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BM}= \overrightarrow {AM} \).
2) Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC} } \right|\).
Giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD}= \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC}= \overrightarrow {BD} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC} } \right|\).
3) Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {CD}+ \overrightarrow {BC}= \overrightarrow {AD} \).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {CD}+ \overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC}+ \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)
\( = \left( {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)
\( = \overrightarrow {AC}+ \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)
\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).
