Giải mục 2 trang 27, 28 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2

Cho phép quay Q_{(O; φ)} và hai điểm tùy ý A, B (O, A, B không thẳng hàng) như Hình 6. Vẽ A’, B’ là ảnh của A, B qua phép quay. Hai tam giác OAB và OA’B’ có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 6 và xét các trường hợp bằng nhau của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}\varphi )}}\) biến điểm A khác O thành điểm A’ sao cho \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OA'\) và \(\left( {OA,{\rm{ }}OA'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi \;\) nên \(\widehat {AOA'} = \varphi \)

Tương tự, ta có \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}\varphi } \right)}}\;\) biến điểm B khác O thành điểm B’ sao cho \(OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OB'\) và \(\left( {OB,{\rm{ }}OB'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi \)  nên \(\widehat {BO{B'}} = \varphi \)

Ta có \(\widehat {AOA'} = \widehat {BOB'}\left( { = \varphi } \right)\)

Suy ra \(\widehat {AOB} + \widehat {BOA'} = \widehat {BOA'} + \widehat {A'OB'}\)

Do đó \(\widehat {AOB} = \widehat {A'OB'}\)

Xét \(\Delta \) OAB và \(\Delta \) OA’B’, có:

OA = OA’ (chứng minh trên);

OB = OB’ (chứng minh trên);

\(\widehat {AOB} = \widehat {A'OB'}\) (chứng minh trên).

Vậy \(\Delta \) OAB = \(\Delta \) OA’B’ (c.g.c).

Thực hành 2

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có tâm I, tìm ảnh qua phép quay \({Q_{(I,{\rm{ }}90^\circ )}}\;\) của các hình sau:

a) Tam giác IAB;

b) Đường thẳng BC;

c) Đường tròn (B, a).

Phương pháp giải:

Để tìm ảnh của một hình, đường thẳng qua phép quay, ta tìm ảnh của các điểm thuộc hình, đường thẳng đó qua phép quay. Sau đó nối chúng với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Hình vuông ABCD có tâm I.

Suy ra AC ⊥ BD tại I và IA = IB = IC = ID.

Ta có phép quay \({Q_{\left( {I,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\)biến:

⦁ Điểm I thành điểm I.

⦁ Điểm A thành điểm D;

⦁ Điểm B thành điểm A;

Vậy ảnh của tam giác IAB qua phép quay \({Q_{\left( {I,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\) là tam giác IDA.

b) Ta có phép quay \({Q_{\left( {I,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\)biến:

⦁ Điểm B thành điểm A;

⦁ Điểm C thành điểm B.

Vậy ảnh của đường thẳng BC qua phép quay \({Q_{\left( {I,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\) là đường thẳng AB.

c) Ta có phép quay \({Q_{\left( {I,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\) biến điểm B thành điểm A.

Vậy ảnh của đường tròn (B, a) qua phép quay \({Q_{\left( {I,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\) là đường tròn (A, a).

Vận dụng 2

Kính lục phân là một dụng cụ quang học sử dụng gương quay để thực hiện phép quay \({Q_{(O,{\rm{ }}\varphi )}}\;\) biến tia Ox (song song với đường chân trời) thành tia Oy (song song với trục Trái Đất), nhờ đó đo được góc φ giữa trục của Trái Đất và đường chân trời tại vị trí của người đo. Hãy giải thích tại sao góc φ của phép quay này lại cho ta vĩ độ tại điểm sử dụng kính.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 8 và suy luận để chứng minh

Lời giải chi tiết:

Gọi Iz là tia trùng với trục Trái Đất và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ IO chứa tia Ox, Oy.

Kẻ tia It song song với tia Ox.

Mà tia Oy song song với trục Trái Đất (giả thiết).

Do đó \(\widehat {tIz} = \widehat {xOy} = \varphi \)

Ta có tia Ox tiếp xúc với Trái Đất tại O.

Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn (I, IO).

Do đó \(Ox{\rm{ }} \bot {\rm{ }}IO.\)

Mà Ox // Ot nên \(Ot{\rm{ }} \bot {\rm{ }}IO.\)

Khi đó \(\widehat {tIz} + \widehat {zIO} = 90^\circ \,\,(1)\)

Gọi Im là tia trùng với đường xích đạo và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Iz chứa đoạn thẳng IO.

Vì trục Trái Đất vuông góc với đường xích đạo nên ta có \(Iz \bot Im.\)

Suy ra \(\widehat {mIO} + \widehat {zIO} = 90^\circ \,\,(2)\)

Từ (1), (2), ta có \(\widehat {mIO} = \widehat {tIz} = \varphi \)

Vậy góc φ của phép quay này lại cho ta vĩ độ tại điểm sử dụng kính.