Giải bài tập 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số (fleft( t right) = frac{{5;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t ge 0,) trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Đề bài

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\) trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số để tìm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)'}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.

Đặt \(h\left( t \right) = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

\(h'\left( t \right) = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\)

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\) (tm)

Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\):

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1.8 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right) = left| x right|). a) Tính các giới hạn (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{fleft( x right) - fleft( 0 right)}}{{x - 0}}) và (mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} frac{{fleft( x right) - fleft( 0 right)}}{{x - 0}}). Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại (x = 0). b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại (x = 0). (Xem Hình 1.4)
Giải bài tập 1.7 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm cực trị của các hàm số sau: a) (y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5);(y = {x^4} - 4{x^2} + 2) b) ; c) (y = frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}); d) (y = sqrt {4x - 2{x^2}} ).
Giải bài tập 1.6 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đồ thị của đạo hàm bậc nhất (y = f'left( x right)) của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13: a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích. b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.
Giải bài tập 1.5 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số (Nleft( t right) = frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t ge 0), trong đó N(t) được tính bằng nghìn người. a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015. b) Tính đạo hàm N’(t) và (mathop {lim }limits_{t to + infty } Nleft( t right)). Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.
Giải bài tập 1.4 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) (y = sqrt {4 - {x^2}} ); b) (y = frac{x}{{{x^2} + 1}}).
Giải bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\); b) \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}\).
Giải bài tập 1.2 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) (y = frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1); b) (y = - {x^3} + 2{x^2} - 5x + 3).
Giải bài tập 1.1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau: a) Đồ thị hàm số (y = {x^3} - frac{3}{2}{x^2}) (H.1.11); b) Đồ thị hàm số (y = sqrt[3]{{{{left( {{x^2} - 4} right)}^2}}}) (H.1.12).
Giải mục 2 trang 9, 10, 11 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cực trị của hàm số
Giải mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tính đơn điệu của hàm số
Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức
1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số