Toán 12 Kết nối tri thức | Giải toán lớp 12 Kết nối tri thức Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Toán 12 Kế..

Giải bài tập 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức


Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\) trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Đề bài

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\) trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số để tìm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)'}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.

Đặt \(h\left( t \right) = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

\(h'\left( t \right) = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\)

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\) (tm)

Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\):

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua