Giải bài 67 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Cho bốn điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 2} \right)\). a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\). b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \(AB\) và \(AC\). c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). d) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\

Đề bài

Cho bốn điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {0;0;2} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 2} \right)\).

a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng \(AB\) và \(AC\).

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

d) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

‒ Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\).

‒ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

‒ Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: \(Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\) với \(D = - A{x_0} - B{y_0} - C{{\rm{z}}_0}\).

‒ Để chứng minh rằng bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng, ta chứng minh điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

‒ Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + C{\rm{z}} + D = 0\):

\(d\left( {{M_0};\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{{\rm{z}}_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1 - 0;0 - 1;3 - 1} \right) = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0 - 0;0 - 1;2 - 1} \right) = \left( {0; - 1;1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.0 - \left( { - 1} \right).1;\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) - 0.\left( { - 1} \right)} \right) = \left( {1;1;1} \right)\).

b) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

c) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\).

d) Ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 2 = - 2 \ne 0\) nên điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Vậy bốn điểm \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:

\(d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 68 trang 70 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {6; - 7;10} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\); b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(N\left( { - 3;8; - 4} \right)\) và có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2; - 1} \right),\overrightarrow v = \left( {1;4; - 5} \right)\); c) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {1;
Giải bài 66 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hai điểm (Aleft( {0;2;0} right)) và (Bleft( {2; - 4;0} right)). a) Trung điểm (I) của đoạn thẳng (AB) có toạ độ là (left( {1; - 1;0} right)). b) (AB = 40). c) Mặt cầu (left( S right)) tâm (A) và đi qua (B) có bán kính (R = sqrt {10} ). d) Phương trình mặt cầu (left( S right)) tâm (A) và đi qua (B) là: ({left( {x - 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {z^2} = 10).
Giải bài 65 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hai mặt phẳng (left( {{P_1}} right):x + 4y - 2z + 2 = 0,left( {{P_2}} right): - 2x + y + z + 3 = 0). a) Vectơ (overrightarrow {{n_1}} = left( {1;4; - 2} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_1}} right)). b) Vectơ (overrightarrow {{n_2}} = left( {2;1;1} right)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( {{P_2}} right)). c) (overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}}
Giải bài 64 trang 69 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho điểm (Ileft( {1;2;3} right)) và đường thẳng (Delta :frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{{ - 1}}). Gọi (left( P right)) là mặt phẳng đi qua (I) và vuông góc với đường thẳng (Delta ). a) Nếu (overrightarrow u ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (Delta ) thì (overrightarrow u ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right)). b) Vectơ có toạ độ (left( {2;1; - 1} right))
Giải bài 63 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho (a + b + c ne 0). Khoảng cách từ gốc toạ độ (O) đến mặt phẳng (x + a + b + c = 0) bằng: A. (left| {a + b + c} right|). B. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}). C. (frac{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{{left| {a + b + c} right|}}). D. (frac{{left| {a + b + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).
Giải bài 62 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Toạ độ tâm của mặt cầu (left( S right):{left( {x + 19} right)^2} + {left( {y - 20} right)^2} + {left( {z + 21} right)^2} = 22) là: A. (left( { - 19;20; - 21} right)). B. (left( {19;20; - 21} right)). C. (left( { - 19;20;21} right)). D. (left( {19;20;21} right)).
Giải bài 61 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Mặt cầu (left( S right):{left( {x - 23} right)^2} + {left( {y - 8} right)^2} + {left( {z - 44} right)^2} = 81) có bán kính bằng: A. 23. B. 9. C. 8. D. 44.
Giải bài 60 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:frac{{x - 2}}{{15}} = frac{{y + 9}}{{ - 10}} = frac{{z - 7}}{5})? A. (overrightarrow {{u_1}} = left( {2; - 9;7} right)). B. (overrightarrow {{u_2}} = left( { - 2;9; - 7} right)). C. (overrightarrow {{u_3}} = left( {15;10;5} right)). D. (overrightarrow {{u_4}} = left( {3; - 2;1} right)).
Giải bài 59 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 8 - t\y = 7\z = - 6 + 9tend{array} right.)? A. (overrightarrow {{u_1}} = left( { - 1;0;9} right)). B. (overrightarrow {{u_2}} = left( {8;7;6} right)). C. (overrightarrow {{u_3}} = left( {1;0;9} right)). D. (overrightarrow {{u_4}} = left( {8;7; - 6} right)).
Giải bài 58 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 9 + 6t\y = - 10 - 7t\z = 11 + 8tend{array} right.)? A. (overrightarrow {{u_1}} = left( {9; - 10;11} right)). B. (overrightarrow {{u_2}} = left( {6;7;8} right)). C. (overrightarrow {{u_3}} = left( {9;10;11} right)). D. (overrightarrow {{u_4}} = left( {6; - 7;8} right)).
Giải bài 57 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( R right):z - 2 = 0)? A. (overrightarrow {{n_1}} = left( {1; - 2;0} right)). B. (overrightarrow {{n_2}} = left( {1;0; - 2} right)). C. (overrightarrow {{n_3}} = left( {0;0;1} right)). D. (overrightarrow {{n_4}} = left( {1;2;0} right)).
Giải bài 56 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( Q right):5x - 6z + 4 = 0)? A. (overrightarrow {{n_1}} = left( {5;0; - 6} right)). B. (overrightarrow {{n_2}} = left( {5; - 6;4} right)). C. (overrightarrow {{n_3}} = left( {5;0;6} right)). D. (overrightarrow {{n_4}} = left( {5;6;4} right)).
Giải bài 55 trang 68 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (left( P right): - x + 2y - 9z + 7 = 0)? A. (overrightarrow {{n_1}} = left( {1;2;9} right)). B. (overrightarrow {{n_2}} = left( {1; - 2;9} right)). C. (overrightarrow {{n_3}} = left( {1;2; - 9} right)). D. (overrightarrow {{n_4}} = left( { - 1;2;9} right)).