Giải bài 6 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13).

Đề bài

Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta đi chứng minh tổng khoảng cách \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'B'.\) Với A’, B’ là ảnh của A, B qua \({Đ_d}\) (d là đường trung trực của đoạn MN)

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.

Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua \({Đ_d}\)

Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua \({Đ_d}\)

Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua \({Đ_d}\)

Do đó \(A'N{\rm{ }} = {\rm{ }}AM.\)

Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua

Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.

Mà \(N \in b\) (giả thiết).

Do đó \(NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}NB.\)

Ta có \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB{\rm{ }} = {\rm{ }}A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'.\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B'.\)

Do đó tổng khoảng cách \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'B'.\)

Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.

Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đ_d(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right),{\rm{ }}B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_b}\left( B \right).\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 7 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Vận dụng phép đối xứng trục để vẽ nhanh bình hoa theo hướng dẫn trong Hình 14.
Giải bài 5 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC với B và C cố định. Vẽ hai đường tròn có tâm lần lượt là B, C và đi qua A
Giải bài 4 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) và đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Giải bài 3 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 2), B(4; –3) và M(–8; 5).
Giải bài 2 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình \(x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và cho điểm \(M({x_0};{\rm{ }}{y_0}).\)
Giải bài 1 trang 18 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Vẽ các hình sau đây vào giấy kẻ ô vuông và tìm ảnh của các hình đã cho qua phép đối xứng trục d.
Giải mục 3 trang 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AM.
Giải mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB).
Giải mục 1 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng d. Gọi f là quy tắc xác định như sau:
Giải khởi động trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Trong các hình sau, hình nào có trục đối xứng?