Định lí sin - Toán 10

Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

1) Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {135^o}\), \(\widehat C = {15^o}\) và b = 12. Tính a, c, R và số đo góc B.

Giải:

Ta có: \(\widehat B = {180^o} - (\widehat A + \widehat C) = {180^o} - ({135^o} + {15^o}) = {30^o}\).

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{135}^o}}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^o}}} = \frac{c}{{\sin {{15}^o}}} = 2R\).

Suy ra \(a = \frac{{12}}{{\sin {{30}^o}}}.\sin {135^o} = 12\sqrt 2 \); \(c = \frac{{12}}{{\sin {{30}^o}}}.\sin {15^o} = 24\sin {15^o}( \approx 6,21)\); \(R = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^o}}} = 12\).

2) Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {72^o}\), \(\widehat B = {83^o}\), BC = 18. Tính độ dài các cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giải:

Đặt a = BC, b = AC, c = AB.

Ta có: \(a = 18\), \(\widehat C = {180^o} - ({72^o} + {83^o}) = {25^o}\).

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Suy ra:

\(AC = b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{83}^o}}}{{\sin {{72}^o}}} \approx 18,8\);

\(AB = c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{25}^o}}}{{\sin {{72}^o}}} \approx 8\);

\(R = \frac{a}{{2.\sin A}} = \frac{{18}}{{2.\sin {{72}^o}}} \approx 9,5\).

3) Các nhà khảo cổ học tìm được một mảnh chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ. Để xác định đường kính của chiếc đĩa, họ lấy ba điểm trên vành đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như sau: \(BC \approx 28,5\) cm, \(\widehat {BAC} \approx {120^o}\). Tính đường kính của chiếc đĩa theo đơn vị xăng-ti-mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(2R = \frac{{BC}}{{\sin A}} \approx \frac{{28,5}}{{\sin {{120}^o}}} \approx 33\) (cm).

Vậy đường kính của chiếc đĩa khoảng 33 cm.