Đề thi vào 10 môn Toán Hậu Giang năm 2023

Đề bài

Phần I: Trắc nghiệm (3 điểm)

Câu 1: Giá trị của $\sqrt 4$ là

A. $\pm 4$.

B. 16.

C. $2$.

D. $- 2$.

Câu 2: Giá trị của biểu thức $A = \sqrt {27} {\rm{ \;}} - \sqrt 3$ là

A. $2\sqrt 6$.

B. $2\sqrt 3$.

C. $\sqrt {24}$.

D. $3\sqrt 3$.

Câu 3: Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 5y = 23}\\{x + 2y = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right.$ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.$.

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{ \;}} - 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{ \;}} - 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = {\rm{ \;}} - 3}\end{array}} \right.$.

Câu 4: Giả sử ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}$ là nghiệm của phương trình $2{x^2} - 3x - 7 = 0$. Giá trị của biểu thức ${x_1}.{x_2}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$ .

B. $- \frac{3}{2}$.

C. $- \frac{7}{2}$.

D. $\frac{7}{2}$.

Câu 5: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình $3{x^4} - 10{x^2} - 8 = 0$?

A. $x = {\rm{ \;}} - 2$.

B. $x = {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}$.

C. $x = 4$.

D. $x = 16$

Câu 6: Chu vi của đường tròn bán kính $R = 4cm$ là

A. $8\pi cm$.

B. $4\pi cm$.

C. $2\pi cm$.

D. $16\pi cm$.

Câu 7: Cho hàm số $y = ax + b$ có đồ thị là đường thẳng $d$ như hình vẽ bên dưới

Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?

A. $A\left( {2;0} \right)$.

B. $B\left( {0;2} \right)$.

C. $C\left( {0; - 2} \right)$.

D. $D\left( { - 2;2} \right)$.

Câu 8: Tứ giác nào sau đây nội tiếp được trong một đường tròn?

A. Hình thang vuông.

B. Hình bình hành.

C. Hình vuông.

D. Hình thoi.

Câu 9: Cho điểm $M$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$ và $\angle AOB = 120^\circ$ như hình vẽ. Số đo của $\angle AMB$ bằng

A. $60^\circ$.

B. $120^\circ$.

C. $90^\circ$

D. $30^\circ$.

Câu 10: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và có chu vi bằng 30cm. Diện tích của hình chữ nhật bằng

A. $100c{m^2}$.

B. $200c{m^2}$.

C. $50c{m^2}$.

D. $25c{m^2}$.

Câu 11: Một hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $l = 5cm$. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón đã cho là

A. ${S_{xq}} = 12\pi c{m^2}$.

B. ${S_{xq}} = 8\pi c{m^2}$.

C. ${S_{xq}} = 30\pi c{m^2}$.

D. ${S_{xq}} = 15\pi c{m^2}$.

Câu 12: Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A. $y = {\rm{ \;}} - {x^2}$.

B. $y = {x^2}$.

C. $y = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}{x^2}$

D. $y = {\rm{ \;}} - 2{x^2}$

Phần II. Tự luận (7 điểm)

Câu 13: 

a) Tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt {625} {\rm{ \;}} - \sqrt {225}$

b) Tìm điều kiện để biểu thức $B = \sqrt {x - 1}$ có nghĩa. Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 10$

c) Cho biểu thức $C = \frac{2}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 3}} + \frac{1}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} - 3}}{{9 - x}}$, với $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9$. Tìm $x$ để $C = {\rm{ \;}} - \frac{8}{5}$

Câu 14: 

a) Giải phương trình $2{x^2} - 5x - 3 = 0$

b) Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = {\rm{ \;}} - 3}\\{3x - y = 5}\end{array}} \right.$

Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hàm số $y = 2{x^2}$ có đồ thị $\left( P \right)$ và hàm số $y = 3x - 1$ có đồ thị là đường thẳng $\left( {\Delta {\rm{ \;}}} \right)$.

a) Vẽ đồ thị $\left( P \right)$

b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị $\left( P \right)$ và đường thẳng $\left( {\Delta {\rm{ \;}}} \right)$ bằng phép tính

c) Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):y = {\rm{ \;}} - 2\left( {{m^2} - 2} \right)x - 2m + 6$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}$ thỏa mãn $2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\rm{ \;}} - 1$

Câu 16: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $AB < AC$, nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, các đường cao AK và BE cắt nhau tại $H$.

a) Tính diện tích $S$ của hình tròn $\left( O \right)$, biết $\left( O \right)$ có bán kính $R = 5cm$

b) Chứng minh tứ giác ABKE nội tiếp.

c) Gọi J là giao điểm của đường thẳng AK và đường tròn $\left( O \right)$ (với $J$ khác $A$). Chứng minh $KH = KJ$

Câu 17: Giải phương trình $2{x^3} + x = \left( {2x + \frac{1}{2}} \right)\sqrt {x - \frac{1}{4}}$

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng $\sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right|$

Cách giải:

Ta có: $\sqrt 4 {\rm{ \;}} = \sqrt {{2^2}} {\rm{ \;}} = 2$

Chọn C.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng $\sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right|$

Cách giải:

Ta có: $A = \sqrt {27} {\rm{ \;}} - \sqrt 3 {\rm{ \;}} = 3\sqrt 3 {\rm{ \;}} - \sqrt 3 {\rm{ \;}} = 2\sqrt 3$

Chọn B.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 5y = 23}\\{x + 2y = {\rm{ \;}} - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 5y = 23}\\{4x + 8y = {\rm{ \;}} - 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{13y = {\rm{ \;}} - 39}\\{4x - 5y = 23}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {\rm{ \;}} - 3}\\{4x + 15 = 23}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = {\rm{ \;}} - 3}\end{array}} \right.$

Chọn D.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lý Vi-ét $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Cách giải:

Sử dụng định lý Vi-ét ta có ${x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - \frac{7}{2}$

Chọn C.

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Giải phương trình bằng phương pháp đưa về dạng tích A.B = 0

Cách giải:

Ta có: $3{x^4} - 10{x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + \frac{2}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + \frac{2}{3} > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.$

Chọn A.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Chu vi của đường tròn bán kính $R$ là $C = 2\pi R$

Cách giải:

Chu vi của đường tròn bán kính $R = 4cm$ là $C = 2\pi .4 = 8\pi \left( {cm} \right)$

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$

Chọn B.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Hình vuông nội tiếp trong một đường tròn

Cách giải:

Hình vuông nội tiếp trong một đường tròn

Chọn C.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Cách giải:

Ta có: $\angle AMB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ$

Chọn A.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Cách giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b(a,b > 0)$

Theo giả thiết $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{2\left( {a + b} \right) = 30}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{a + b = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{3b = 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 10}\\{b = 5}\end{array}} \right.$ (tm)

Diện tích hình chữ nhật là $S = 10.5 = 50\left( {c{m^2}} \right)$

Chọn C.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $r$ và đường sinh $l$ là ${S_{xq}} = \pi rl$

Cách giải:

Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón đã cho là ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .3.5 = 15\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c{m^2}} \right)$

Chọn D.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol với $y = a{x^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)$.

Dựa vào các điểm đi qua để tìm hàm số.

Cách giải:

Gọi hàm số cần tìm là $y = a{x^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)$

Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left( { - 1; - 1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}$ nên ta có:

$- 1 = a.{( - 1)^2} \Rightarrow a = {\rm{ \;}} - 1$

Vậy hàm số cần tìm là $y = {\rm{ \;}} - {x^2}$

Chọn A.

Phần II: Tự luận

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

a) Tính toán với căn bậc hai.

b) ĐKXĐ của $\sqrt A$ là $A \ge 0$. Tìm x khi biết giá trị của biểu thức

c) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, tìm x khi biết giá trị của biểu thức

Cách giải:

a) Ta có: $A = \sqrt {625} {\rm{ \;}} - \sqrt {225} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{25}^2}} {\rm{ \;}} - \sqrt {{{15}^2}} {\rm{ \;}} = 25 - 15 = 10$

Vậy $A = 10$

b) Để $B = \sqrt {x - 1}$ có nghĩa thì $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Khi $x = 10$ thì $B = \sqrt {10 - 1} {\rm{ \;}} = \sqrt 9 {\rm{ \;}} = 3$

Vậy $B = 3$ khi $x = 10$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}C = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{9 - x}},\,\,x \ge 0,\,\,x \ne 9\\C = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{{3 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\C = \frac{{2\sqrt x  + 6 + \sqrt x  - 3 + 3 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\C = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\C = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{x - 9}}\end{array}$

Để $C = {\rm{ \;}} - \frac{8}{5}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 6}}{{x - 9}} = {\rm{ \;}} - \frac{8}{5}}\\{ \Leftrightarrow 5\sqrt x {\rm{ \;}} + 30 = {\rm{ \;}} - 8x + 72}\\{ \Leftrightarrow 8x + 5\sqrt x {\rm{ \;}} - 42 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 2} \right)\left( {8\sqrt x {\rm{ \;}} + 21} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt x {\rm{ \;}} = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 8\sqrt x {\rm{ \;}} + 21 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 9} \right)}\\{ \Leftrightarrow x = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {TM} \right)}\end{array}$

Vậy để $C = {\rm{ \;}} - \frac{8}{5}$ thì $x = 4$

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

a) Giải phương trình bằng phương pháp đưa về dạng tích A.B = 0

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

a) Ta có: $2{x^2} - 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 = 0}\\{2x + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{x = {\rm{ \;}} - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {3; - \frac{1}{2}} \right\}$

b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = {\rm{ \;}} - 3}\\{3x - y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = {\rm{ \;}} - 3}\\{6x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = {\rm{ \;}} - 3}\\{7x = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2y = {\rm{ \;}} - 3}\\{x = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.$

Câu 15 (VD):

Phương pháp:

a) Vẽ đồ thị dạng $y = a{x^2}(a \ne 0)$

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left( P \right)$ và $\left( {\Delta {\rm{ \;}}} \right)$.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Thực hiện hệ thức.

Cách giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm $O\left( {0;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A\left( { - 2;8} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( { - 1;2} \right),$

$C\left( {1;2} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D\left( {2;8} \right)$

Hệ số $a = 2 > 0$ nên parabol có bề cong hướng lên trên

Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng

Ta vẽ được đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left( P \right)$ và $\left( {\Delta {\rm{ \;}}} \right)$ ta được

$2{x^2} = 3x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{2x - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

Với $x = 1 \Rightarrow y = {2.1^2} = 2$

Với $x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$

Vậy tọa độ 2 giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( {\Delta {\rm{ \;}}} \right)$ là $\left( {1;2} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ ta được:

$\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} = {\rm{ \;}} - 2\left( {m - 2} \right)x - 2m + 6}\\{ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 2m - 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\end{array}$

Xét (1): $\Delta {\rm{ \;}} = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 5m + 7 = {\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \in \mathbb{R}$

Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}$ với mọi $m \in \mathbb{R}$

Áp dụng định lý Vi-et ta được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 - m}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.$

Ta có: $2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\rm{ \;}} - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2 + 2{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Rightarrow  - x_1^2 - x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 6{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Rightarrow  - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 6{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Rightarrow  - {\left( {2 - m} \right)^2} + 6\left( {m - 3} \right) =  - 1\\ \Rightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} - 6\left( {m - 3} \right) - 1 = 0\\ \Rightarrow {m^2} - 10m + 21 = 0\\ \Rightarrow \left( {m - 7} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 7 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ {3;7} \right\}$

Câu 16 (VD):

Phương pháp:

a) Diện tích $S$ của hình tròn là $S = 4\pi {R^2}$

b) Chứng minh tứ giác ABKE nội tiếp theo dấu hiệu nhận biết: hai góc có đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc $90^\circ$

c) Chứng minh $\Delta HBJ$ là tam giác cân tại B có $BK$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Cách giải:

a) Diện tích $S$ của hình tròn là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.5^2} = 100\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

b) Ta có: $\angle AEB = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,BE \bot AC} \right)$

$\angle AKB = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,AK \bot BC} \right)$

Do đó $\angle AEB = \angle AKB$

Mà $\angle AEB,\,\,\angle AKB$ cùng chắn cung $AB$

Suy ra $AEKB$ là tứ giác nội tiếp

c) Ta có: $AEKB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle KAC = \angle HBK$

Mà $\angle KAC = \angle JBK\,\,$(do ABJC nội tiếp đường tròn (O))

Nên $\angle HBK = \angle JBK$

Khi đó $BK$ là phân giác của $\angle HBJ$

Xét $\Delta HBJ$ có $BK$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác

$\Rightarrow \Delta HBJ$ cân tại $B$

Mà $BK$ là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

Hay $KH = KJ$ (đpcm)

Vậy $KH = KJ$

Câu 17 (VDC):

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn.

Biến đổi đưa về dạng tích A.B = 0

Cách giải:

ĐKXĐ: $x \ge \frac{1}{4}$

Ta có:

$\begin{array}{l}2{x^3} + x = \left( {2x + \frac{1}{2}} \right)\sqrt {x - \frac{1}{4}} \\ \Leftrightarrow 2{x^3} + x = \frac{1}{2}\left( {4x + 1} \right).\frac{1}{2}\sqrt {4x - 1} \\ \Leftrightarrow 8{x^3} + 4x = \left( {4x + 1} \right)\sqrt {4x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^3} + 2.2x = \left( {4x - 1} \right)\sqrt {4x - 1}  + 2\sqrt {4x - 1} \\ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {{\sqrt {4x - 1} }^3}} \right] + 2\left( {2x - \sqrt {4x - 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - \sqrt {4x - 1} } \right)\left( {4{x^2} + 2x\sqrt {4x - 1}  + 4x - 1} \right) + 2\left( {2x - \sqrt {4x - 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - \sqrt {4x - 1} } \right)\left( {4{x^2} + 2x\sqrt {4x - 1}  + 4x - 1 + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - \sqrt {4x - 1} } \right)\left( {4{x^2} + 2x\sqrt {4x - 1}  + 4x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x - \sqrt {4x - 1}  = 0\,\,\left( {do\,\,x \ge \frac{1}{4} \Rightarrow 4{x^2} + 2x\sqrt {4x - 1}  + 4x + 1 > 0} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = \sqrt {4x - 1} \\ \Leftrightarrow 4{x^2} = 4x - 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy $x = \frac{1}{2}$