Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 2
Đề bài
Tìm tập nghiệm S của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272$
-
A.
$S=\{1\} $
-
B.
$S=\{3\}$
-
C.
$S=\{2\}$
-
D.
$S=\{5\}$
Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) biến điểm \(M,N\) thành \(M',N'\) thì:
-
A.
\(MN = M'N'\)
-
B.
\(MM' = NN'\)
-
C.
\(MM' \equiv NN'\)
-
D.
\(MN \equiv M'N'\)
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
-
A.
\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)
-
B.
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d}\)
-
C.
\({S_{tp}} = {C_d}\left( {r + h} \right)\)
-
D.
\({S_{tp}} = 2{C_d}\left( {r + h} \right)\)
Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5.500.000đ và chịu lãi suất tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên.
-
A.
64 tháng
-
B.
60 tháng
-
C.
65 tháng
-
D.
64,1 tháng
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\). Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng \(\dfrac{a}{2}\) ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ.
-
A.
\(\pi {a^3}\sqrt 3 \)
-
B.
\(\pi {a^3}\)
-
C.
\(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
D.
\(3\pi {a^3}\)
Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ có:
-
A.
nghiệm kép.
-
B.
vô nghiệm.
-
C.
hai nghiệm phân biệt.
-
D.
Cả A và B đúng.
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \dfrac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right)$. Tìm $m?$
-
A.
$m = 2$
-
B.
$m = 5$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 4$
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) tâm \(O\). Phép dời hình nào không biến hình vuông \(ABCD\) thành hình vuông \(A'B'C'D'\)?
-
A.
phép đối xứng tâm \(O\)
-
B.
phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {BB'} \)
-
C.
phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {CC'} \)
-
D.
phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {A'A} \)
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a > 0\)
-
B.
\(a = 0\)
-
C.
\(a < 0\)
-
D.
\(a \ne 0\)
Điều kiện để biểu thức ${a^\alpha }$ có nghĩa với $\alpha \in I$ là:
-
A.
$a < 0$
-
B.
$a > 0$
-
C.
$a \in R$
-
D.
$a \in Z$
Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=2\).
-
B.
Hàm số có cực trị.
-
C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1;3)\).
-
D.
Hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\).
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
-
B.
Hàm số có đạt cực đại tại $x = {\rm{\;}} - 3$
-
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $ - 2$
-
D.
Hàm số có giá trị cực đại bằng $3$
Giải phương trình \({9^{\left| {x + 1} \right|}} = {27^{2x - 2}}.\) Ta có tập nghiệm bằng:
-
A.
{2}
-
B.
\(\left\{ {2;\dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C.
{1}
-
D.
\(\left\{ {3;\dfrac{1}{4}} \right\}\)
Công thức tính thể tích khối nón biết diện tích đáy \({S_d}\) và đường sinh \(l\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}{S_d}.l\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{3}{S_d}\sqrt {{h^2} - {r^2}} \)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}{S_d}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)
-
D.
\(V = {S_d}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{V}{{V'}} = k\)
-
B.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^2}\)
-
C.
\(\dfrac{V}{{V'}} = {k^3}\)
-
D.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\({\left( {\sqrt 3 } \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\sqrt 3 } \right)^{\sqrt 2 }}\)
-
B.
\({\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 5 }}\)
-
C.
\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - \sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }}\)
-
D.
\({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\)
Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có $1$ cực trị nếu và chỉ nếu:
-
A.
$ab \ge 0$
-
B.
$ab < 0$
-
C.
$b > 0$
-
D.
$b < 0$
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = 3x$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 1$ là:
-
A.
$\left( {1;3} \right)$
-
B.
$\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
C.
$\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
D.
$\left( { - 1; - 3} \right)$
Đường cong hình bên là đồ thị hàm số nào sau đây:
-
A.
$y = {x^4} - 2{x^2} + 1$
-
B.
$y = {x^4} - 2{x^2} - 1$
-
C.
$y = - {x^4} - 2{x^2} + 1$
-
D.
$y = - {x^4} - 2{x^2} - 1$
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
\(log\left( {a + b} \right) = \log a + \log b;\forall a > 0;b > 0\)
-
B.
${a^{x + y}} = {a^x} + {a^y};\,\forall a > 0;\,x,y \in \,R$
-
C.
Hàm số \(y = {e^{10x + 2017}}\) đồng biến trên $R$
-
D.
Hàm số \(y = {\log _{12}}x\) nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} \le 8\):
-
A.
\(\left[ { - 2;4} \right]\)
-
B.
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left[ { - 3;1} \right]\)
-
D.
\(\left[ { - 1;3} \right]\)
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
-
B.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
C.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
D.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$
Tính thể tích \(V\) của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$.
-
A.
\(V = \dfrac{{3\pi {a^3}}}{4}\)
-
B.
\(V = \pi {a^3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)
-
D.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Chọn mệnh đề sai:
-
A.
Điểm không thuộc khối cầu thì không thuộc mặt cầu.
-
B.
Điểm nằm ngoài mặt cầu thì không thuộc khối cầu.
-
C.
Điểm không thuộc mặt cầu thì không thuộc khối cầu.
-
D.
Điểm nằm trong mặt cầu thì thuộc khối cầu.
Số mặt phẳng đối xứng của mặt cầu là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(0\)
-
D.
Vô số
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) thỏa mãn \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB = 2AD = 2CD = 2a = \sqrt 2 SA\). Thể tích khối chóp \(S.BCD\) là:
-
A.
\(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}}\)
-
A.
Vô số
-
B.
$0$
-
C.
$9$
-
D.
$11$
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
-
A.
\(12({m^2})\)
-
B.
\(12\pi (c{m^3})\)
-
C.
\(12\pi (c{m^2})\)
-
D.
\(4\pi (c{m^2})\)
Cho điểm \(A \in \left( P \right)\). Lấy đối xứng \(A\) qua \(\left( P \right)\) được ảnh là điểm \(A'\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
$A' \notin \left( P \right)$
-
B.
$AA' > 0$
-
C.
$A' \equiv A$
-
D.
$A'A//\left( P \right)$
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
-
A.
\({{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{3}}<{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{4}}\)
-
B.
\({{\left( 4-\sqrt{2} \right)}^{3}}<{{\left( 4-\sqrt{2} \right)}^{4}}\)
-
C.
\({{\left( \sqrt{11}-\sqrt{2} \right)}^{6}}>{{\left( \sqrt{11}-\sqrt{2} \right)}^{7}}\)
-
D.
\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{4}}<{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{5}}\)
Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2$ luôn tăng trên $R$
-
A.
$m > 1$
-
B.
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m > 3}\end{array}} \right.$
-
C.
$2 \le m \le 3$
-
D.
$1 \le m \le 3$
Số điểm cực trị của hàm số $y = {(x - 1)^{2017}}$ là
-
A.
$0.$
-
B.
$2017.$
-
C.
$1.$
-
D.
$2016.$
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:
-
A.
$m = 2$
-
B.
$m = \dfrac{{31}}{{27}}$
-
C.
$m > \dfrac{3}{2}$
-
D.
$m = 1$
Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có $1$ cực trị. Khi đó, nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (không có điểm chung với trục hoành) thì:
-
A.
$a > 0,b \ge 0,c > 0$
-
B.
$a > 0,b \le 0,c > 0$
-
C.
$a > 0,b \ge 0$
-
D.
$a < 0,b < 0,c < 0$
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
-
A.
$y = {x^3} - 2{x^2} + x - 2$
-
B.
$y = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
C.
$y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
D.
$y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ như hình vẽ bên.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$2a - d = - 3$
-
B.
$a = d$
-
C.
$3a + d = 7$
-
D.
$a + d = 0$
Hàm số $y = \dfrac{{bx - c}}{{x - a}}$ $\left( {a \ne 0;} \right.$ $\left. {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
\(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab < 0.\)
-
B.
\(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab > 0.\)
-
C.
\(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab = 0.\)
-
D.
\(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c - ab < 0.\)
Tìm $m$ để phương trình ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.
-
A.
$m \geqslant - 2$
-
B.
$m > 2$
-
C.
$m \leqslant - 2$
-
D.
$m < 2$
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)$ ta được:
-
A.
$P = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$
-
B.
$P = a + b$
-
C.
\(P = a - b\)
-
D.
$P = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$
Rút gọn biểu thức $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ ta được kết quả là:
-
A.
$\dfrac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
B.
$\dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
C.
$\dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
D.
$0$
Một khu rừng ở tỉnh Hà Giang có trữ lượng gỗ là $3.10^5(m^3).$ Biết tốc độ sinh trưởng của các ở khu rừng đó là $5\%$ mỗi năm. Hỏi sau $5$ năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
-
A.
${3.10^5}{(1 + 0,5)^5}({m^3})$
-
B.
${3.10^5}{(1 + 0,05)^5}({m^3})$
-
C.
${3.10^5}{(1 + 0,05)^4}({m^3})$
-
D.
${3.10^5}{(1 + 0,5)^4}({m^3})$
Đặt \(a = {\log _3}4,b = {\log _5}4\) . Hãy biểu diễn \({\log _{12}}80\) theo $a$ và $b$
-
A.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
-
B.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{a + 2ab}}{{ab}}\)
-
C.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
-
D.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
-
A.
\({\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}b \Leftrightarrow a > b > 0\)
-
B.
\(\log x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\)
-
C.
\({\log _2}x > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
-
D.
\({\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\)
Tìm $m$ để phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .
-
A.
$- 13 < m < - 9$
-
B.
$3 < m < 9$
-
C.
$- 9 < m < 3$
-
D.
$- 13 < m < 3$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2};{x_3}\). Tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.\)
-
A.
\(P = {3.2^{2018}}\)
-
B.
\(P = - 2018\)
-
C.
\(P = 0\)
-
D.
\(P = {2^{2019}}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m \ge f\left( 1 \right) - e\)
-
B.
\(m > f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
C.
\(m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
D.
\(m > f\left( 1 \right) - e\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\) với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
\(a + b + c + d < 0\)
-
B.
\(a + c < b + d\)
-
C.
\(a + c > 0\)
-
D.
\(d + b - c > 0\)
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).
-
A.
\({P_{\min }}= 4\)
-
B.
\({P_{\min }}= -4\).
-
C.
\({P_{\min }}\)= \(2\sqrt 3 \).
-
D.
\({P_{\min }}\)= \(\dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\).
Cho phương trình \({x^3} + \left( {m - 12} \right)\sqrt {4x - m} = 4x\left( {\sqrt {4x - m} - 3} \right)\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt?
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Biết tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SCA\) vuông tại \(C\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng \(\dfrac{{3a}}{{\sqrt {13} }}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
-
C.
\({a^3}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải và đáp án
Tìm tập nghiệm S của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x - 1}} = 272$
-
A.
$S=\{1\} $
-
B.
$S=\{3\}$
-
C.
$S=\{2\}$
-
D.
$S=\{5\}$
Đáp án : B
Với câu hỏi có 4 đáp án chỉ có 1 giá trị nghiệm, ta thử ngay từng đáp án vào phương trình đã cho.
Thử lần lượt từng đáp án ta thấy $x = 3$ là nghiệm của phương trình
Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) biến điểm \(M,N\) thành \(M',N'\) thì:
-
A.
\(MN = M'N'\)
-
B.
\(MM' = NN'\)
-
C.
\(MM' \equiv NN'\)
-
D.
\(MN \equiv M'N'\)
Đáp án : A
Sử dụng tính chất phép đối xứng qua mặt phẳng bảo toàn khoảng cách của hai điểm.
Phép đối xứng qua mặt phẳng bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì nên \(M'N' = MN\).
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
-
A.
\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)
-
B.
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d}\)
-
C.
\({S_{tp}} = {C_d}\left( {r + h} \right)\)
-
D.
\({S_{tp}} = 2{C_d}\left( {r + h} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\).
Ta có: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = {C_d}.\left( {h + r} \right)\)
Dó đó công thức ở đáp án D là sai.
Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5.500.000đ và chịu lãi suất tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên.
-
A.
64 tháng
-
B.
60 tháng
-
C.
65 tháng
-
D.
64,1 tháng
Đáp án : A
Sử dụng công thức trả góp.
\(T = \dfrac{{A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]}}{{r{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}\) , trong đó:
$T:$ Số tiền vay ban đầu
$A:$ Số tiền trả hàng kì
$r:$ lãi suất
$n:$ số kì hạn.
Áp dụng công thức trả góp ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,T{\left( {1 + r} \right)^n} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 300{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} = \dfrac{{5,5}}{{0,5\% }}\left[ {{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^n} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 800.1,{005^n} = 1100\\ \Leftrightarrow n = {\log _{1,005}}\dfrac{{1100}}{{800}} \approx 63,85\end{array}\)
Vậy sau ít nhất 64 tháng anh A mới trả hết số tiền 300 triệu.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\). Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng \(\dfrac{a}{2}\) ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ.
-
A.
\(\pi {a^3}\sqrt 3 \)
-
B.
\(\pi {a^3}\)
-
C.
\(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
D.
\(3\pi {a^3}\)
Đáp án : A
- Tính chiều cao hình trụ dựa vào định lý Pi-ta-go.
- Tính thể tích khối trụ dựa vào công thức \(V = \pi {R^2}h\)
Gọi $\left( O \right)$ là một đường tròn đáy của hình trụ
Mặt phẳng đã cho cắt $\left( O \right)$ tại $A$ và $B$, gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Vì thiết diện thu được là hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng
$h = AB = 2AH = 2\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = a\sqrt 3 $
Thể tích khối trụ là
$V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.a\sqrt 3 = \pi {a^3}\sqrt 3 $
Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ có:
-
A.
nghiệm kép.
-
B.
vô nghiệm.
-
C.
hai nghiệm phân biệt.
-
D.
Cả A và B đúng.
Đáp án : D
Sử dụng điều kiện có cực trị của hàm số bậc ba:
Hàm số bậc ba không có cực trị nếu phương trình $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \dfrac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty {\rm{\;}}} \right)$. Tìm $m?$
-
A.
$m = 2$
-
B.
$m = 5$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 4$
Đáp án : D
Sử dung BĐT Cauchy cho hai số không âm \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
${\rm{\;}}x > 1 \Leftrightarrow x - 1 > 0$
$ \Rightarrow y = x - 1 + \dfrac{4}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\dfrac{4}{{x - 1}}} = 2.2 = 4$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{4}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = 3$.
Vậy GTNN của hàm số là $m=4$ khi $x=3$.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) tâm \(O\). Phép dời hình nào không biến hình vuông \(ABCD\) thành hình vuông \(A'B'C'D'\)?
-
A.
phép đối xứng tâm \(O\)
-
B.
phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {BB'} \)
-
C.
phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {CC'} \)
-
D.
phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {A'A} \)
Đáp án : D
Nhận xét từng phép dời hình ở mỗi đáp án và kết luận.
Dễ thấy, các phép tịnh tiến theo mỗi véc tơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {DD'} \) biến hình vuông \(ABCD\) thành hình vuông \(A'B'C'D'\) nên B, C đúng, D sai.
Phép đối xứng qua tâm \(O\) của hình lập phương biến hình vuông \(ABCD\) thành hình vuông \(A'B'C'D'\) nên A đúng.
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a > 0\)
-
B.
\(a = 0\)
-
C.
\(a < 0\)
-
D.
\(a \ne 0\)
Đáp án : A
Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \) nên \(a > 0\).
Điều kiện để biểu thức ${a^\alpha }$ có nghĩa với $\alpha \in I$ là:
-
A.
$a < 0$
-
B.
$a > 0$
-
C.
$a \in R$
-
D.
$a \in Z$
Đáp án : B
Sử dụng chú ý về cơ số của các lũy thừa với số mũ nguyên, không nguyên:
+ Lũy thừa với số mũ nguyên dương thì không cần điều kiện cho cơ số.
+ Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ $0$ thì cơ số phải khác $0$.
+ Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương nên $a > 0$.
Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=2\).
-
B.
Hàm số có cực trị.
-
C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1;3)\).
-
D.
Hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\).
Đáp án : A
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
- Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số.
- Tìm các cực trị và xét tính đi qua một điểm của đồ thị hàm số.
Xét hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\):
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = - \infty \)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=2\). Phương án A: đúng.
+) \(y'=-\dfrac{5}{{{(x-2)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne 2\) \(\Rightarrow \) Hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\) không có cực trị và hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;2 \right);\,\,\left( 2;+\infty \right)\). Phương án B và D: sai.
+) Ta có: \(3=\dfrac{2.1+1}{1-2}\) vô lí \(\Rightarrow \) Đồ thị hàm số không đi qua điểm\(A(1;3)\). Phương án C: sai.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
-
B.
Hàm số có đạt cực đại tại $x = {\rm{\;}} - 3$
-
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $ - 2$
-
D.
Hàm số có giá trị cực đại bằng $3$
Đáp án : D
Dựa vào bảng biến thiên và rút ra kết luận
Nhận thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 tại $x = 2$
Giải phương trình \({9^{\left| {x + 1} \right|}} = {27^{2x - 2}}.\) Ta có tập nghiệm bằng:
-
A.
{2}
-
B.
\(\left\{ {2;\dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C.
{1}
-
D.
\(\left\{ {3;\dfrac{1}{4}} \right\}\)
Đáp án : A
Đưa về cùng cơ số 3.
\(\begin{array}{l}{9^{\left| {x + 1} \right|}} = {27^{2x - 2}} \Leftrightarrow {3^{2\left| {x + 1} \right|}} = {3^{3\left( {2x - 2} \right)}} \Leftrightarrow 2\left| {x + 1} \right| = 6x - 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 2 = 6x - 6\,\,khi\,x \ge - 1\\2x + 2 = - 6x + 6\,\,khi\,x < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Công thức tính thể tích khối nón biết diện tích đáy \({S_d}\) và đường sinh \(l\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}{S_d}.l\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{3}{S_d}\sqrt {{h^2} - {r^2}} \)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}{S_d}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)
-
D.
\(V = {S_d}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)
Đáp án : C
- Tính chiều cao \(h\) sử dụng công thức \({l^2} = {h^2} + {r^2}\)
- Tính thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h\).
Ta có: \({l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{3}{S_d}.\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{V}{{V'}} = k\)
-
B.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^2}\)
-
C.
\(\dfrac{V}{{V'}} = {k^3}\)
-
D.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}\)
Đáp án : D
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó \(\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}\).
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\({\left( {\sqrt 3 } \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\sqrt 3 } \right)^{\sqrt 2 }}\)
-
B.
\({\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 5 }}\)
-
C.
\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - \sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }}\)
-
D.
\({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\)
Đáp án : A
Sử dụng các tính chất so sánh lũy thừa:
- Với \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y\); với \(0 < a < 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x < y\).
- Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\); \(m\) nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\).
Đáp án A: Vì \(\sqrt 3 > 1\) và \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \) nên \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\sqrt 3 } \right)^{\sqrt 2 }}\) hay A đúng.
Đáp án B: Vì \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} < 1\) và \(\sqrt 3 < \sqrt 5 \) nên \({\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 5 }}\) hay B sai.
Đáp án C: \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - \sqrt 3 }} = {2^{\sqrt 3 }}\), \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }} = {3^{\sqrt 3 }}\). Vì \(2 < 3\) nên \({2^{\sqrt 3 }} < {3^{\sqrt 3 }}\) hay \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - \sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }}\) nên C sai.
Đáp án D: Vì \(\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}\) nên \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\) hay D sai.
Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có $1$ cực trị nếu và chỉ nếu:
-
A.
$ab \ge 0$
-
B.
$ab < 0$
-
C.
$b > 0$
-
D.
$b < 0$
Đáp án : A
Ta có: $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)$.
Hàm số có $1$ cực trị $ \Leftrightarrow y' = 0$ có $1$ nghiệm duy nhất hay $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ab > 0\\b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ab \ge 0\)
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = 3x$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 1$ là:
-
A.
$\left( {1;3} \right)$
-
B.
$\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
C.
$\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
-
D.
$\left( { - 1; - 3} \right)$
Đáp án : C
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.
- Bước 2: Giải phương trình tìm $x$, rồi từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.
Phương trình hoành độ $2{x^2} + 1 = 3x$.
$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow y = 3 \hfill \\ x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy có hai giao điểm là $\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Đường cong hình bên là đồ thị hàm số nào sau đây:
-
A.
$y = {x^4} - 2{x^2} + 1$
-
B.
$y = {x^4} - 2{x^2} - 1$
-
C.
$y = - {x^4} - 2{x^2} + 1$
-
D.
$y = - {x^4} - 2{x^2} - 1$
Đáp án : D
Dựa vào chiều của đồ thị hàm số tìm dấu của hệ số a.
Dựa vào các điểm mà đồ thị hàm số đi qua để loại các đáp án.
Dễ thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\mkern 1mu} y = - \infty \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $ Loại A và B.
Đồ thị hàm số đi qua $\left( {0; - 1} \right) \Rightarrow $ Loại C.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
\(log\left( {a + b} \right) = \log a + \log b;\forall a > 0;b > 0\)
-
B.
${a^{x + y}} = {a^x} + {a^y};\,\forall a > 0;\,x,y \in \,R$
-
C.
Hàm số \(y = {e^{10x + 2017}}\) đồng biến trên $R$
-
D.
Hàm số \(y = {\log _{12}}x\) nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$
Đáp án : C
Sử dụng tính chất các hàm số mũ, logarit và các công thức biến đổi mũ, logarit.
\(\log a + \log b = \log \left( {ab} \right)\) nên ý A sai
Nhận thấy \({a^{x + y}} = {a^x}.{a^y}\) nên mệnh đề ở ý B sai.
Vì $12 > 1$ nên \(y = {\log _{12}}x\) là hàm đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$ nên D sai
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} \le 8\):
-
A.
\(\left[ { - 2;4} \right]\)
-
B.
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left[ { - 3;1} \right]\)
-
D.
\(\left[ { - 1;3} \right]\)
Đáp án : D
Sử dụng lý thuyết \({a^x} \le {a^y} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x \ge y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x \le y\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\({2^{{x^2} - 2x}} \le 8 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}} \le {2^3}\)
Vì \(2 > 1 \Rightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;3} \right]\)
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
-
B.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
C.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
D.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$
Đáp án : A
Sử dụng tính chất hàm số lẻ: Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ là tâm đối xứng.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng.
Tính thể tích \(V\) của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$.
-
A.
\(V = \dfrac{{3\pi {a^3}}}{4}\)
-
B.
\(V = \pi {a^3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)
-
D.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Đáp án : D
Thể tích của khối trụ là:$V = \pi {R^2}h$.
Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$ thì bán kính đáy \(r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = a\).
Suy ra \(V = \pi {r^2}h = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Chọn mệnh đề sai:
-
A.
Điểm không thuộc khối cầu thì không thuộc mặt cầu.
-
B.
Điểm nằm ngoài mặt cầu thì không thuộc khối cầu.
-
C.
Điểm không thuộc mặt cầu thì không thuộc khối cầu.
-
D.
Điểm nằm trong mặt cầu thì thuộc khối cầu.
Đáp án : C
Điểm không thuộc mặt cầu thì có thể nằm ngoài hoặc nằm trong mặt cầu nên các điểm nằm trong mặt cầu vẫn thuộc khối cầu.
Do đó \(C\) sai.
Số mặt phẳng đối xứng của mặt cầu là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(0\)
-
D.
Vô số
Đáp án : D
Mọi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu.
Vậy có vô số mặt phẳng đối xứng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) thỏa mãn \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB = 2AD = 2CD = 2a = \sqrt 2 SA\). Thể tích khối chóp \(S.BCD\) là:
-
A.
\(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Đáp án : B
- Bước 1: Tính diện tích đáy \({S_{\Delta BCD}}\), dựa vào các tính chất của đáy.
- Bước 2: Tính chiều cao \(h = SA\).
- Bước 3: Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Ta có: \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD = \dfrac{1}{2}\left( {2a + a} \right)a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\)
\({S_{\Delta ABD}} = \dfrac{1}{2}AD.AB = \dfrac{1}{2}a.2a = {a^2}\)
\( \Rightarrow {S_{BCD}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABD}} = \dfrac{{3{a^2}}}{2} - {a^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
\(SA = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}}\)
-
A.
Vô số
-
B.
$0$
-
C.
$9$
-
D.
$11$
Đáp án : C
Giải bất phương trình mũ:
$\begin{array}{l}{{\rm{a}}^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x){\rm{ }}\left( {a > 1} \right)\\{{\rm{a}}^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x){\rm{ }}\left( {0 < a < 1} \right)\end{array}$
Vì $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ nên ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3{\rm{x}} - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3{\rm{x}} - 10} < x - 2 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3{\rm{x}} - 10 < {\left( {x - 2} \right)^2}\\{x^2} - 3{\rm{x}} - 10 \ge 0\\x - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le x < 14\\ \Rightarrow x = \left\{ {5,6,7,8,9,10,11,12,13} \right\}\end{array}\)
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
-
A.
\(12({m^2})\)
-
B.
\(12\pi (c{m^3})\)
-
C.
\(12\pi (c{m^2})\)
-
D.
\(4\pi (c{m^2})\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\).
Áp dụng công thức \({S_{xq}} = \pi rl\) ta được: \({S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Cho điểm \(A \in \left( P \right)\). Lấy đối xứng \(A\) qua \(\left( P \right)\) được ảnh là điểm \(A'\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
$A' \notin \left( P \right)$
-
B.
$AA' > 0$
-
C.
$A' \equiv A$
-
D.
$A'A//\left( P \right)$
Đáp án : C
Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thành chính nó.
Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc \(\left( P \right)\) thành chính nó nên \(A \equiv A'\).
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
-
A.
\({{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{3}}<{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{4}}\)
-
B.
\({{\left( 4-\sqrt{2} \right)}^{3}}<{{\left( 4-\sqrt{2} \right)}^{4}}\)
-
C.
\({{\left( \sqrt{11}-\sqrt{2} \right)}^{6}}>{{\left( \sqrt{11}-\sqrt{2} \right)}^{7}}\)
-
D.
\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{4}}<{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{5}}\)
Đáp án : B
\({a^x} < {a^y} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x < y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x > y\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\(0<2-\sqrt{2}<1\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{3}}>{{\left( 2-\sqrt{2} \right)}^{4}}\Rightarrow \)Đáp án A sai.
\(4-\sqrt{2}>1\Rightarrow {{\left( 4-\sqrt{2} \right)}^{3}}<{{\left( 4-\sqrt{2} \right)}^{4}}\Rightarrow \)Đáp án B đúng.
\(\sqrt{11}-\sqrt{2}>1\Rightarrow {{\left( \sqrt{11}-\sqrt{2} \right)}^{6}}<{{\left( \sqrt{11}-\sqrt{2} \right)}^{7}}\Rightarrow \) Đáp án C sai.
\(0<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1\Rightarrow {{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{4}}>{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{5}}\Rightarrow \)Đáp án D sai.
Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2$ luôn tăng trên $R$
-
A.
$m > 1$
-
B.
$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m > 3}\end{array}} \right.$
-
C.
$2 \le m \le 3$
-
D.
$1 \le m \le 3$
Đáp án : D
Tính y' và tìm điều kiện của $m$ để $y' > 0,\forall x \in R$.
Điều kiện để tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c > 0,\forall x \in R$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta {\rm{\;}} \le 0}\end{array}} \right.$
Xét hàm số: $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2$ trên $R$
Có $y'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2\left( {m - 1} \right).$
Hàm số đã cho tăng trên $R \Leftrightarrow y'\left( x \right) > 0,\forall x \in R$$ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) \le 0$.
Vì $a = 1 > 0.$$ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 \le 0$$ \Leftrightarrow 1 \le m \le 3.$
Số điểm cực trị của hàm số $y = {(x - 1)^{2017}}$ là
-
A.
$0.$
-
B.
$2017.$
-
C.
$1.$
-
D.
$2016.$
Đáp án : A
- Tính và tìm các nghiệm của $y' = 0$ và các điểm tại đó hàm số không xác định.
- Xét dấu y’ qua các điểm tìm được ở trên và kết luận:
Điểm làm cho đạo hàm đổi dấu là các điểm cực trị của hàm số.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
$y = {(x - 1)^{2017}} \Rightarrow y' = 2017{(x - 1)^{2016}} \ge 0,\forall x$
Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị.
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:
-
A.
$m = 2$
-
B.
$m = \dfrac{{31}}{{27}}$
-
C.
$m > \dfrac{3}{2}$
-
D.
$m = 1$
Đáp án : D
- Tính $y'$ và tìm nghiệm của $y' = 0$.
- Biện luận các trường hợp điểm $x = 3$ nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.
Các TH cần xét:
1) $m=0$
2) $m>0$ ta có $0<2m$ nên chia thành 2 TH nhỏ: $0<2m<3$ và $0<3 \le 2m$
3) $m<0$ ta có $2m<0 $ nên ta có luôn $2m<0<3$
TXĐ: $D = \mathbb{R}$
$y' = 3{x^2} - 6mx.$
Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \Rightarrow y = 6 \hfill \\x = 2m \Rightarrow y = - 4{m^3} + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=0 \Rightarrow y=6 \\ x=2 m \Rightarrow y=-4 m^{3}+6\end{array}\right.$
Xét TH1: $m = 0$. Hàm số đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$ $ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow $ loại.
Xét TH2: $m \geqslant \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2m \ge 3 > 0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]$
$ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \dfrac{{31}}{{27}} < \dfrac{3}{2}$(loại)
Xét TH3: $\dfrac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left( {0;6} \right)$ và điểm cực tiểu là $\left( {2m, - 4{m^3} + 6} \right).$
Khi đó , GTNN trên $\left[ {0;3} \right]$ là $y\left( {2m} \right) = - 4{m^3} + 6$ $ \Rightarrow - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)
Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[ {0;3} \right]$ hàm số đồng biến.
$ \Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow $ loại.
Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.
Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có $1$ cực trị. Khi đó, nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (không có điểm chung với trục hoành) thì:
-
A.
$a > 0,b \ge 0,c > 0$
-
B.
$a > 0,b \le 0,c > 0$
-
C.
$a > 0,b \ge 0$
-
D.
$a < 0,b < 0,c < 0$
Đáp án : A
Vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có 1 cực trị và kết hợp với điều kiện bài cho để tìm ra đáp án đúng.
Hàm số chỉ có 1 cực trị thì $y' = 0$ có 1 nghiệm $ \Leftrightarrow ab \ge 0$, khi đó đồ thị có dạng:
Trong hai trường hợp trên ta thấy nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì chỉ xảy ra trường hợp $a > 0$, do đó $b \ge 0$ và điểm cực tiểu $\left( {0;c} \right)$ cũng phải nằm phía trên trục hoành hay $c > 0$.
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
-
A.
$y = {x^3} - 2{x^2} + x - 2$
-
B.
$y = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
C.
$y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
D.
$y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$
Đáp án : B
Quan sát đồ thị và nhận xét điểm cực đại, cực tiểu, điểm đi qua,… từ đó rút ra kết luận.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;4} \right)$ nên loại A và D
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ tại $\left( {2;0} \right)$ nên phương trình hoành độ giao điểm $y = 0$ có 1 nghiệm đơn $x=-1$ và 1 nghiệm kép ${x_{2,3}} = 2$
Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ như hình vẽ bên.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$2a - d = - 3$
-
B.
$a = d$
-
C.
$3a + d = 7$
-
D.
$a + d = 0$
Đáp án : C
- Quan sát bảng biến thiên, tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
- Tìm $a,d$ và thay vào kiểm tra các đáp án.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ có $\left\{ \begin{align} & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{2}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow d=1 \\ & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{a}{2}=1\Rightarrow a=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 3a+d=7$
Hàm số $y = \dfrac{{bx - c}}{{x - a}}$ $\left( {a \ne 0;} \right.$ $\left. {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
\(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab < 0.\)
-
B.
\(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab > 0.\)
-
C.
\(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab = 0.\)
-
D.
\(a > 0,{\rm{ }}b < 0,{\rm{ }}c - ab < 0.\)
Đáp án : A
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, nhận xét tính đồng biến, nghịch biến rồi suy ra mối quan hệ giữa các hệ số \(a,b,c\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = a > 0$; tiệm cận ngang \(y = b > 0.\)
Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác định của nó nên
Vậy \(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab < 0.\)
Tìm $m$ để phương trình ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.
-
A.
$m \geqslant - 2$
-
B.
$m > 2$
-
C.
$m \leqslant - 2$
-
D.
$m < 2$
Đáp án : A
- Nêu mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$.
- Khảo sát hàm số $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ trên $\left( { - \infty ;1} \right]$ và từ đó suy ra điều kiện của $m$.
Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ và đường thẳng d: $y = - m$.
Xét hàm số (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ có: $y' = 5{x^4} + 3{x^2} + \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} > 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)$$ \Rightarrow $ hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.
Lại có $y\left( 1 \right) = 2$.
Ta có BBT:
Theo BBT ta thấy pt có nghiệm $ \Leftrightarrow - m \leqslant 2 \Leftrightarrow m \geqslant - 2$.
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)$ ta được:
-
A.
$P = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$
-
B.
$P = a + b$
-
C.
\(P = a - b\)
-
D.
$P = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$
Đáp án : C
Sử dụng các công thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).
Ta có:
$P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} - {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = a - b$
Vậy \(P = a - b\).
Rút gọn biểu thức $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ ta được kết quả là:
-
A.
$\dfrac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
B.
$\dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
C.
$\dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
D.
$0$
Đáp án : C
Sử dụng công thức ${a^{xy}} = {\left( {{a^x}} \right)^y}$ kết hợp sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng mẫu thức để biến đổi và rút gọn $B$.
Ta có: $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 $
$= \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} + 1 = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
Một khu rừng ở tỉnh Hà Giang có trữ lượng gỗ là $3.10^5(m^3).$ Biết tốc độ sinh trưởng của các ở khu rừng đó là $5\%$ mỗi năm. Hỏi sau $5$ năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
-
A.
${3.10^5}{(1 + 0,5)^5}({m^3})$
-
B.
${3.10^5}{(1 + 0,05)^5}({m^3})$
-
C.
${3.10^5}{(1 + 0,05)^4}({m^3})$
-
D.
${3.10^5}{(1 + 0,5)^4}({m^3})$
Đáp án : B
Sử dụng công thức lãi kép $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$
Trữ lượng gỗ sau năm thứ nhất: ${3.10}^5.(1+0,05)$
Trữ lượng gỗ sau năm thứ 2: ${3.10}^5.(1+0,05).+{3.10}^5.(1+0,05).0,05={3.10}^5.{(1+0,05)}^2$
Tương tự như vậy đến năm thứ 5 trữ lượng gỗ ở khu rừng đó là : ${3.10}^5.{(1+0,05)}^5$
Đặt \(a = {\log _3}4,b = {\log _5}4\) . Hãy biểu diễn \({\log _{12}}80\) theo $a$ và $b$
-
A.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
-
B.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{a + 2ab}}{{ab}}\)
-
C.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
-
D.
\({\log _{12}}80 = \dfrac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
Đáp án : C
Công thức đổi cơ số ${\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$; ${\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}};{\rm{ }}{\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c$
Ta có $80 = {4^2}.5;{\rm{ }}12 = 3.4$
$\begin{array}{l}{\log _{12}}80 = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + {\log _{12}}5 = \dfrac{2}{{{{\log }_4}12}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}12}} = \dfrac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}4}}\\ = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{b}{a} + b}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}} + \dfrac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \dfrac{{2ab + a}}{{ab + b}}\end{array}$
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
-
A.
\({\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}b \Leftrightarrow a > b > 0\)
-
B.
\(\log x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\)
-
C.
\({\log _2}x > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
-
D.
\({\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\)
Đáp án : A
Ta có
$\begin{array}{l}{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c{\rm{ }}\left( {a > 1} \right)\\{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c{\rm{ }}\left( {0 < a < 1} \right)\end{array}$
${\log _{0.5}}a > {\log _{0.5}}b \Leftrightarrow a < b{\rm{ }}$ vì $0,5 <1$ suy ra A sai.
$\log x < 0 \Leftrightarrow \log x < \log 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ suy ra B đúng.
${\log _2}x > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _2}1 \Leftrightarrow x > 1$ suy ra C đúng.
${\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0{\rm{ }}$suy ra D đúng.
Tìm $m$ để phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .
-
A.
$- 13 < m < - 9$
-
B.
$3 < m < 9$
-
C.
$- 9 < m < 3$
-
D.
$- 13 < m < 3$
Đáp án : A
- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về bậc hai.
- Tìm điều kiện để bài toán phụ có nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ,
Đặt $t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)$
Xét hàm số \(y = {t^2} - 8t + 3\) trên \((2;8)\) có:
$y' = 2t - 8;$ $y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\in (2;8)$
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên:
Phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2};{x_3}\). Tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.\)
-
A.
\(P = {3.2^{2018}}\)
-
B.
\(P = - 2018\)
-
C.
\(P = 0\)
-
D.
\(P = {2^{2019}}\)
Đáp án : C
Sử dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc ba \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\) có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = \dfrac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a}\end{array} \right.\)
Sau đó biến đổi \(f'\left( x \right)\) để tính \(P.\)
Ta có \(f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {3.2^{2019}}{x^2} + {3.2^{2019}}x = {3.2^{2019}}x\left( {x + 1} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{f'\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{1}{{x.\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành \({2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018 = 0\) (*)
Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) là ba ngiệm của phương trình (*) nên theo hẹ thức Vi-et ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 0\\{x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{{2018}}{{{2^{2019}}}}\end{array} \right.\)
Ta có \(P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3}}} - \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} + \dfrac{1}{{{x_3}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} - \dfrac{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right]\)
\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {0 - \dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} + 2\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{{0 + 2.\dfrac{{ - 3}}{2} + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}} = 0\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m \ge f\left( 1 \right) - e\)
-
B.
\(m > f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
C.
\(m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
D.
\(m > f\left( 1 \right) - e\)
Đáp án : C
Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) < m\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).
Theo đề bài ta có : \(f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m\)
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.\) Khi đó :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < {e^x} + m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x} < m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right)\\g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {e^x}\end{array}\)
Trên \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)
\( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\;1} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\\ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}.\end{array}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\) với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
A.
\(a + b + c + d < 0\)
-
B.
\(a + c < b + d\)
-
C.
\(a + c > 0\)
-
D.
\(d + b - c > 0\)
Đáp án : C
Từ đồ thị hàm số suy ra \(f'\left( 0 \right) = 0;\,f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\)
Lập bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$
Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\)
Từ đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow d = 0\)
Từ đồ thị ta thấy:
+ Khi $x< -1$ thì $f'(x)>0$.
+ Khi $-1<x<0=>f'(x)<0$
+ Khi $0<x<x_0$ (với $x_0$ là nghiệm thứ 3 của phương trình $f'(x)=0$) $=>f'(x)>0$
+ Khi $x>x_0$ thì $f'(x)<0$
Ta có bảng biến thiên:
\(\Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 0 \right)\)
\( \Leftrightarrow a - b + c - d + e > e \Leftrightarrow a + c > b + d\) nên B sai, lại có \(d = 0 \Rightarrow a + c > b\) (1)
+) Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 0 \right)\)
\( \Leftrightarrow a + b + c + d + e > e \Leftrightarrow a + b + c + d > 0\) nên A sai.
Mà \(d = 0\) nên \(a + b + c > 0 \Leftrightarrow a + c > - b\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\left( {a + c} \right) > 0 \Leftrightarrow a + c > 0.\)
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).
-
A.
\({P_{\min }}= 4\)
-
B.
\({P_{\min }}= -4\).
-
C.
\({P_{\min }}\)= \(2\sqrt 3 \).
-
D.
\({P_{\min }}\)= \(\dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án : C
Sử dụng bất đẳng thức Cô si: $\forall x,y \ge 0$ ta có: $\dfrac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} $
Điều kiện : $x + y >0, x – y > 0$
\({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\)
Ta có: $P = 2x - y = \dfrac{{x + y + 3(x - y)}}{2} \ge \sqrt {(x + y).3(x - y)} = \sqrt {3({x^2} - {y^2})} = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3 $
Dấu “=” xảy ra khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\{x^2} - {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\3{\left( {x - y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x + y = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 \\y = \sqrt 3 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)
Vậy $Min\,P = 2\sqrt 3 $.
Cho phương trình \({x^3} + \left( {m - 12} \right)\sqrt {4x - m} = 4x\left( {\sqrt {4x - m} - 3} \right)\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt?
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
ĐKXĐ: \(x \ge \dfrac{m}{4}\)
Ta có: \({x^3} + \left( {m - 12} \right)\sqrt {4x - m} = 4x\left( {\sqrt {4x - m} - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 12x = \left( {4x - m} \right)\sqrt {4x - m} + 12\sqrt {4x - m} \)
\( \Leftrightarrow {x^3} + 12x = {\left( {\sqrt {4x - m} } \right)^3} + 12\sqrt {4x - m} (*)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 12t,\,\,\,f'\left( t \right) = 3{t^2} + 12 > 0,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Phương trình (*) trở thành
\( f\left( x \right) = f\left( {\sqrt {4x - m} } \right)\)
\( \Leftrightarrow x = \sqrt {4x - m} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4x - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\m = 4x - {x^2} = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt \( \Leftrightarrow 0 \le m < 4 \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\): 4 giá trị thỏa mãn.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Biết tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SCA\) vuông tại \(C\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng \(\dfrac{{3a}}{{\sqrt {13} }}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
-
C.
\({a^3}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án : B
Gắn hệ trục tọa độ.
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \), đi qua điểm \({M_1}\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \), đi qua điểm \({M_2}\).
Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) được tính theo công thức:
\(d({d_1};{d_2}) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
Gọi O là trung điểm của BC.
Ta gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó:
\(A\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right),\,B\left( {0;\dfrac{a}{2};0} \right),\,C\left( {0; - \dfrac{a}{2};0} \right)\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng vuông góc với AB tại B, \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng vuông góc với AC tại C. Gọi giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là đường thẳng \(d\).
Do \(SB \bot AB,\,\,SC \bot AC\) nên \(S \in d\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{a}{2};0} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {0;\dfrac{a}{2};0} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1;0} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\sqrt 3 x - y + \dfrac{a}{2} = 0\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(C\left( {0; - \dfrac{a}{2};0} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\sqrt 3 x + y + \dfrac{a}{2} = 0\).
\(d\) là giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x - y + \dfrac{a}{2} = 0\\\sqrt 3 x + y + \dfrac{a}{2} = 0\end{array} \right.\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {0;0;2\sqrt 3 } \right)\)
\( \Rightarrow d\) đi qua \(I\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;0} \right)\)có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\), có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\)
Giả sử \(S\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;t} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} = \left( {\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};\dfrac{a}{2}; - t} \right);\,\,\\\overrightarrow {CA} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\end{array}\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right] = \left( {\dfrac{{at}}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 t}}{2}; - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right]} \right| = \sqrt {\dfrac{{{a^2}{t^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}{t^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} = \sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \)
Ta có: \(\overrightarrow {CB} = \left( {0;a;0} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right].\overrightarrow {CB} = 0 + \dfrac{{a\sqrt 3 t}}{2}.a + 0 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}\)
\(d(SB;AC) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right].\overrightarrow {CB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \dfrac{{3{a^4}{t^2}}}{{4{a^2}{t^2} + \dfrac{1}{3}{a^2}}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{13}}\\ \Leftrightarrow 39{a^2}{t^2} = 36{a^2}{t^2} + 3{a^2} \Leftrightarrow {t^2} = {a^2} \Leftrightarrow t = a\end{array}\)
\( \Rightarrow S\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;a} \right)\)\( \Rightarrow h = d\left( {S;\left( {Oxy} \right)} \right) = a\)
Diện tích tam giác đều ABC là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.h.S = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).