-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 12 - Đề số 4
Đề bài
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
-
B.
Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
C.
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
D.
Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{4}.$
-
B.
$\dfrac{1}{3}.$
-
C.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Cho biểu thức \(S = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(S = {2^n} - 2n + 2\)
-
B.
\(S = {2^n} - 2\)
-
C.
\(S = {2^n} - 2n - 2\)
-
D.
\(S = {2^n} + n - 1\)
Tính tổng \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}\) ($a \ne 1$ là số cho trước)
-
A.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
Cho hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $0.$
-
B.
Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to -\infty $ là $2.$
-
C.
Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $-2.$
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\)
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
-
A.
\( - \dfrac{{343}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{721}}{8}\)
-
C.
\( - \dfrac{{721}}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{343}}{8}\)
Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.
-
A.
\(\dfrac{1}{{125}}\).
-
B.
\(\dfrac{1}{{126}}\).
-
C.
\(\dfrac{1}{{36}}\).
-
D.
\(\dfrac{{13}}{{36}}\).
Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\), \(EG\) cắt \(AD\) tại \(H\). Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
-
A.
\(CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.\)
-
B.
\(CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.\)
-
C.
\(AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF\).
-
D.
\(AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.\)
Cho các mệnh đề sau:
a) Nếu a // (P) thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong (P).
b) Nếu a // (P) thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (P).
c) Nếu a // (P) thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với a
d) Nếu a // (P) thì tồn tại đường thẳng d nằm trong (P) sao cho a và d đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
-
A.
1.
-
B.
2.
-
C.
3.
-
D.
4.
Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:
-
A.
Chéo nhau
-
B.
có hai điểm chung
-
C.
song song
-
D.
có một điểm chung
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng?
-
A.
AD // (BEF)
-
B.
(AFD) // (BEC)
-
C.
(ABD) // (EFC)
-
D.
EC // (ABF)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). \(A'B'C'D'\) là hình bình hành khi và chỉ khi:
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
-
B.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ cắt nhau
-
C.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ trùng nhau
-
D.
\(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$
Cho tứ diện $ABCD$ có \(AB = AC\) và \(DB = DC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(AB \bot \left( {ABC} \right)\).
-
B.
\(AC \bot BD\).
-
C.
\(CD \bot \left( {ABD} \right)\).
-
D.
\(BC \bot AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(CH \bot HK\)
-
B.
\(AB \bot \left( {CHK} \right)\)
-
C.
\(CH \bot AK\)
-
D.
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$
-
A.
${60^0}$
-
B.
${75^0}$
-
C.
${45^0}$
-
D.
${30^0}$
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Độ dài \(SG\) là:
-
A.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
C.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
-
B.
Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
-
C.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
-
D.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
A.
Ba mặt phẳng \(\left( ABC \right),\,\,\left( ABD \right),\,\,\left( ACD \right)\) đôi một vuông góc.
-
B.
Hình chiếu của A lên mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) là trực tâm của tam giác BCD.
-
C.
Tam giác BCD vuông.
-
D.
Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAD $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD.$
-
A.
\(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\)
-
B.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
-
C.
\(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
-
D.
$d = a$
Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB = 3a, BC = 4a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và đáy bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC,$ tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM.$
-
A.
\(d = a\sqrt 3 .\)
-
B.
\(d = 5a\sqrt 3 .\)
-
C.
\(d = \dfrac{{5a}}{2}.\)
-
D.
\(d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\)
Hàm số $y = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 3} \right|$ được viết lại là
-
A.
$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
-
B.
$y = \left\{ \begin{array}{l}2x - 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x + 2\,\,\,khi\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
-
C.
$y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x - 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
-
D.
$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
Tìm điểm $A$ cố định mà họ đồ thị hàm số $y = {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 3m\,\,\left( {{P_m}} \right)$ luôn đi qua.
-
A.
$A\left( {3;\,\,15} \right)$
-
B.
$A\left( {0;\,\, - 2} \right)$
-
C.
$A\left( {3;\,\, - 15} \right)$
-
D.
$A\left( { - 3;\,\, - 15} \right)$
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) ?
-
A.
\(1.\)
-
B.
$0.$
-
C.
\(2.\)
-
D.
\(3.\)
Cho bất phương trình\( - 2x + \sqrt 3 y + \sqrt 2 \le 0\) có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
-
B.
\(\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S\).
-
C.
\(\left( {1; - 2} \right) \notin S\).
-
D.
\(\left( {1;0} \right) \notin S\).
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.$?
-
A.
$\left( { - 1;4} \right)$.
-
B.
$\left( { - 2;4} \right)$.
-
C.
$\left( {0;0} \right)$.
-
D.
$\left( { - 3;4} \right)$.
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 5\,\,\,(1)\\x + \dfrac{3}{2}y < 5\,\,\,(2)\end{array} \right.\). Gọi \({S_1}\) là tập nghiệm của bất phương trình (1), \({S_2}\) là tập nghiệm của bất phương trình (2) và \(S\) là tập nghiệm của hệ thì
-
A.
\({S_1} \subset {S_2}\).
-
B.
\({S_2} \subset {S_1}\).
-
C.
\({S_2} = S\).
-
D.
\({S_1} \ne S\).
Biết \(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.\) Tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) theo m và n.
-
A.
$\dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$
-
B.
$m - 3n$
-
C.
$m + 3n$
-
D.
$\dfrac{{{m^2} + n}}{3}$
Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = m\left( {\left| m \right| \ge 2} \right)\). Tính theo $m$ giá trị của \(A = \left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|\)
-
A.
${m^3} - m$
-
B.
$ - 9m$
-
C.
${m^3} + 9m$
-
D.
\(\sqrt {{m^2} - 4} \)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:
-
A.
$\left( {2;4} \right)$.
-
B.
$\left( {5;6} \right)$.
-
C.
$\left( {15;10} \right)$.
-
D.
$\left( {50;6} \right)$.
Cho\(A\left( {0;3} \right),\,B\left( {4;2} \right)\). Điểm \(D\) thỏa $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 $, tọa độ\(D\) là:
-
A.
\(\left( { - 3;3} \right)\).
-
B.
\(\left( {8; - 2} \right)\).
-
C.
\(\left( { - 8;2} \right)\).
-
D.
\(\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)\).
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8cm,AC = 18cm$ và có diện tích bằng \(64c{m^2}\). Giá trị $\sin \widehat A$ là:
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{3}{8}\)
-
C.
\(\dfrac{4}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{8}{9}\)
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) và có độ dài trục lớn là \(2a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
\(2a = {F_1}{F_2}\).
-
B.
\(2a > {F_1}{F_2}\).
-
C.
\(2a < {F_1}{F_2}\).
-
D.
\(4a = {F_1}{F_2}\).
Giá trị của \(C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} \) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi $\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\,\,$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty $.
-
B.
Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty $.
-
C.
Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\)
-
B.
Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
C.
Hàm số không liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
-
D.
Hàm số không liên tục trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \dfrac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0\\a\cos x - 5\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\end{array} \right.\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục trên R.
-
A.
$a=5$
-
B.
$a=7$
-
C.
\(a = \dfrac{{11}}{2}\)
-
D.
Không có giá trị nào của a thỏa mãn.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$.
-
A.
$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
-
B.
$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
-
C.
$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.$
-
D.
$\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.$
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan 3x.\cot 5x\)
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Cho phương trình: $4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$ trong đó $m$ là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
-
A.
$ - 1 \le m \le 0$.
-
B.
$ - \dfrac{3}{2} \le m \le - 1$.
-
C.
$ - 4 \le m \le - \dfrac{3}{2}$.
-
D.
$m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$
Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách được đánh số từ 1 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:
-
A.
10!
-
B.
725760
-
C.
9!
-
D.
9! - 2!
Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
-
A.
$1695.$
-
B.
$1485.$
-
C.
$405.$
-
D.
$360.$
Một lô hàng gồm $1000$ sản phẩm, trong đó có $50$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó $1$ sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
-
A.
$0,94.$
-
B.
$0,96.$
-
C.
$0,95.$
-
D.
$0,97.$
Cho hai số \( - 3\) và \(23.\) Xen kẽ giữa hai số đã cho \(n\) số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai \(d = 2.\) Tìm \(n.\)
-
A.
\(n = 12.\)
-
B.
\(n = 13.\)
-
C.
\(n = 14.\)
-
D.
\(n = 15.\)
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(1;{\rm{ }}\,4;{\rm{ }}\,16;{\rm{ }}\,64;{\rm{ }} \cdots \) Gọi \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\({S_n} = {4^{n - 1}}.\)
-
B.
\({S_n} = \dfrac{{n\left( {1 + {4^{n - 1}}} \right)}}{2}.\)
-
C.
\({S_n} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}.\)
-
D.
\({S_n} = \dfrac{{4\left( {{4^n} - 1} \right)}}{3}.\)
Cho \(k,\,\,n\)\(\,(k < n)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
A.
\(C_n^k = C_n^{n - k}\).
-
B.
\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}\).
-
C.
\(A_n^k = k!.C_n^k\).
-
D.
\(A_n^k = n!.C_n^k\).
Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
-
A.
\(y = x + 1.\)
-
B.
\(y = - x + 2.\)
-
C.
\(y = 2x + 1.\)
-
D.
\(y = - x + 1.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực \(m\) thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có đúng \(4\) nghiệm phân biệt.
-
A.
\(0 < m < 1\).
-
B.
\(m > 3.\)
-
C.
\(m = - 1,{\rm{ }}m = 3.\)
-
D.
\( - 1 < m < 0.\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AB = AC = a\). Tính độ dài đường trung tuyến \(BM\) của tam giác đã cho
-
A.
\(BM = 1,5a.\)
-
B.
\(BM = a\sqrt 2 .\)
-
C.
\(BM = a\sqrt 3 .\)
-
D.
\(BM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
Lời giải và đáp án
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng phương pháp thế để rút \(x\) từ phương trình trên thay vào phương trình dưới.
Bước 2: Giải phương trình dưới bằng cách sử dụng công thức \(\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)
Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
Bước 1:
$\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + \dfrac{\pi }{3}\\\cos \left( {y + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \cos y = - 1\left( * \right)\end{array} \right.$
Bước 2:
$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\sin \dfrac{\pi }{6} = - 1\\ \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\dfrac{1}{2} = - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\end{array}$
Bước 3:
$\Leftrightarrow y + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$$\Rightarrow x = y + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Một số em có thể sẽ nghĩ rằng các giá trị $y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $ và $y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi $ là như nhau nên cả hai đáp án B và C đều đúng là sai vì đây là hệ phương trình nên bộ số \(\left( {x;y} \right)\) có chung giá trị của \(k\) nên chỉ có đáp án C mới thỏa mãn \(x - y = \dfrac{\pi }{3}\).
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
-
B.
Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
C.
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
D.
Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Đáp án : C
Hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) có chu kì \(T = 2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có chu kì \(T = \pi \).
Vậy chỉ có đáp án C đúng.
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án B vì nhìn nhầm hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cot x\).
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{4}.$
-
B.
$\dfrac{1}{3}.$
-
C.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Đáp án : C
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, chia cả tử và mẫu cho $x-2$ khử dạng vô định và tính giới hạn.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}{{(x - 2)(x + 2)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - 1)(x - 3)}}{{x + 2}} \) \(= \dfrac{{(2 - 1)(2 - 3)}}{{2 + 2}} = \dfrac{{ - 1}}{4}\)
Cho biểu thức \(S = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(S = {2^n} - 2n + 2\)
-
B.
\(S = {2^n} - 2\)
-
C.
\(S = {2^n} - 2n - 2\)
-
D.
\(S = {2^n} + n - 1\)
Đáp án : C
+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Thay \(a = 1,b = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\\ \Leftrightarrow {2^n} = 1 + n + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2} + n + 1\\ \Leftrightarrow {2^n} - 2n - 2 = C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5... + C_n^{n - 2}\end{array}\)
Tính tổng \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + 4{a^3} + ... + \left( {n + 1} \right){a^n}\) ($a \ne 1$ là số cho trước)
-
A.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} + (n + 2){a^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\)
Đáp án : A
- Nhân của hai vế của tổng với \(a\).
- Trừ vế với vế tương ứng và áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Nếu \(a = 0\) thì \(S = 1\).
Nếu \(a \ne 1\) thì ta có:
\(\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{ }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}\)
Cho hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $0.$
-
B.
Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to -\infty $ là $2.$
-
C.
Giới hạn của $f(x)$ khi $x \to +\infty $ là $-2.$
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\)
Đáp án : D
- Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $
Ta có:
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{4}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\end{array}$
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{4x}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{x} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}{x}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{4}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{4}{{ - 1 - 1}} = - 2\end{array}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) =- \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$.
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
-
A.
\( - \dfrac{{343}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{721}}{8}\)
-
C.
\( - \dfrac{{721}}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{343}}{8}\)
Đáp án : C
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn $t$.
Tìm điều kiện của $m$ để phương trình bậc hai ẩn $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\) để suy ra mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $t$
Sử dụng định lý Vi-et.
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\) (*)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)
Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là \({t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\). Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau \( - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \).
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì \( - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\)
Mà theo định lí Vi-et ta có \({t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\)
Lại có \({t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Do đó \({1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{721}}{8}\)
Công thức giải nhanh cho bài toán trắc nghiệm:
Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC thì điều kiện cần là \(9{b^2} = 100ac\).
Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.
-
A.
\(\dfrac{1}{{125}}\).
-
B.
\(\dfrac{1}{{126}}\).
-
C.
\(\dfrac{1}{{36}}\).
-
D.
\(\dfrac{{13}}{{36}}\).
Đáp án : B
- Đếm số cách xếp \(10\) người vào một hàng.
- Đếm số cách xếp để nam và nữ xen kẽ.
- Tính xác suất.
Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“
-Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 10!\).
-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: \(5!.5!\)
-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: \(5!.5!\)
=>\(n\left( A \right) = 5!.5! + 5!.5! = 28800.\)
=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{28800}}{{10!}} = \dfrac{1}{{126}}.\)
Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Đáp án : C
Dựa vào các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có thể cắt mặt phẳng, song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
Chỉ có $3$ vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì số điểm chung là giữa chúng là $0$
Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng tại $1$ điểm duy nhất thì số điểm chúng là $1$
Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì giữa chúng có vô số điểm chung.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\), \(EG\) cắt \(AD\) tại \(H\). Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
-
A.
\(CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.\)
-
B.
\(CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.\)
-
C.
\(AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF\).
-
D.
\(AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.\)
Đáp án : B
Để chứng minh ba đường thẳng \({d_1},{\rm{ }}{d_2},{\rm{ }}{d_3}\) đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\); đồng thời \({d_3}\) là giao tuyến \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Gọi \(O = HF \cap IG\). Ta có
\(O \in HF\) mà \(HF \subset \left( {ACD} \right)\) suy ra \(O \in \left( {ACD} \right)\).
\(O \in IG\) mà \(IG \subset \left( {BCD} \right)\) suy ra \(O \in \left( {BCD} \right)\).
Do đó \(O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)\). \(\left( 1 \right)\)
Mà \(\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(O \in CD\).
Vậy ba đường thẳng \(CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF\) đồng quy.
Cho các mệnh đề sau:
a) Nếu a // (P) thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong (P).
b) Nếu a // (P) thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (P).
c) Nếu a // (P) thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với a
d) Nếu a // (P) thì tồn tại đường thẳng d nằm trong (P) sao cho a và d đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
-
A.
1.
-
B.
2.
-
C.
3.
-
D.
4.
Đáp án : C
Vận dụng các kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Các mệnh đề b, c, d đúng nên có 3 mệnh đề đúng.
Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:
-
A.
Chéo nhau
-
B.
có hai điểm chung
-
C.
song song
-
D.
có một điểm chung
Đáp án : A
- Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD, E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$ \( \Rightarrow E \in BM,F \in AM.\)
Trong $(AMB):$ \(G = AE \cap BF \Rightarrow \) $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD.$
Giả sử bốn điểm $A, D, G, M$ đồng phẳng.
$A, D, M$\( \in \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right) \) \(\Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)\)(Vô lí)
Do đó $A, D, M, G $ không đồng phẳng.
Vậy $AD $ và $GM$ là hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng?
-
A.
AD // (BEF)
-
B.
(AFD) // (BEC)
-
C.
(ABD) // (EFC)
-
D.
EC // (ABF)
Đáp án : B
Vẽ hình, chứng minh các mặt phẳng song song.
Ta có \(AD \cap \left( {BEF} \right) = A \Rightarrow A\) sai.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AF//BE\\AD//BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AFD} \right)//\left( {BEC} \right) \Rightarrow \) B đúng.
\(\left( {ABD} \right) \cap \left( {EFC} \right) = CD \Rightarrow C\) sai.
\(EC \cap \left( {ABF} \right) = E \Rightarrow D\)sai.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). \(A'B'C'D'\) là hình bình hành khi và chỉ khi:
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
-
B.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ cắt nhau
-
C.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ trùng nhau
-
D.
\(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$
Đáp án : A
Suy luận từng đáp án.
Do $A',B',C',D'$ không đồng thời trùng với các đầu mút nên loại đáp án C.
Gọi $a$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB, b$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD.$
$A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'//C'D'\\A'B' = C'D'\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\A'B'//C'D'\\A'B' \subset \left( {SAB} \right),\,\,C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'B'//a\)
Suy ra $A’B’ // AB$ $(1)$
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A'D'//B'C'\\A'D' \subset \left( {SAD} \right),\,\,C'B' \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'D'//b\)
Suy ra $A’D’ // AD$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ \( \Rightarrow \left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)\) hay \(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
Cho tứ diện $ABCD$ có \(AB = AC\) và \(DB = DC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\(AB \bot \left( {ABC} \right)\).
-
B.
\(AC \bot BD\).
-
C.
\(CD \bot \left( {ABD} \right)\).
-
D.
\(BC \bot AD\).
Đáp án : D
Sử dụng các tính chất tam giác cân, điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng để chứng minh.
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(CH \bot HK\)
-
B.
\(AB \bot \left( {CHK} \right)\)
-
C.
\(CH \bot AK\)
-
D.
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để xét tính đúng sai của từng đáp án.
Do \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) nên \(CH \bot AB\).
Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\).
Do đó \(CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot HK,CH \bot AK\) hay A, C đúng.
Ngoài ra \(HK//SA,SA \bot AB \Rightarrow HK \bot AB\), mà \(AB \bot CH\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)\) hay B đúng.
D sai vì \(BC\) không vuông góc với \(AC\) nên không có \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$
-
A.
${60^0}$
-
B.
${75^0}$
-
C.
${45^0}$
-
D.
${30^0}$
Đáp án : C
- Góc giữa \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABC} \right)\).
- Tính góc tìm được bởi tính chất các tam giác đã học.
Do H là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Vậy $AH$ là hình chiếu của $SA$ lên mp $\left( {ABC} \right)$
\( \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;HA} \right) = \widehat {SAH}\) (do \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH\) hay \(\widehat {SAH} <90^0\))
Mà: $\Delta ABC = \Delta SBC \Rightarrow SH = AH$
Vậy tam giác $SAH$ vuông cân tại $H$ \( \Rightarrow \widehat {SAH} = {45^0}\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Độ dài \(SG\) là:
-
A.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
C.
$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
-
D.
$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
Đáp án : C
- Sử dụng tính chất hình chóp đều: Hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác đáy.
- Từ đó tính được độ dài \(SG\) dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Theo bài ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(SG \bot (ABC),G \in AH\).
Mà \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên theo định lý Pi-ta-go ta có :
\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
-
B.
Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
-
C.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
-
D.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Đáp án : C
A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).
B sai. Qua một đường thẳng chưa chắc đã có mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (vì nếu hai đường thẳng đã cho không vuông góc với nhau thì không có mặt phẳng nào hết)
D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
A.
Ba mặt phẳng \(\left( ABC \right),\,\,\left( ABD \right),\,\,\left( ACD \right)\) đôi một vuông góc.
-
B.
Hình chiếu của A lên mặt phẳng \(\left( BCD \right)\) là trực tâm của tam giác BCD.
-
C.
Tam giác BCD vuông.
-
D.
Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
Đáp án : C
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết của hai mặt phẳng vuông góc: Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đều vuông góc với mặt phẳng đã cho.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AD\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {ABD} \right)\end{array}\)
\(\Rightarrow \) A đúng.
\(AD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AD\bot BC\). Tương tự ta chứng minh được
\(AB\bot CD;\,\,AC\bot BD\Rightarrow D\) đúng.
Gọi H là trực tâm của tam giác BCD ta có \(\left\{ \begin{align} DH\bot BC \\ AD\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow AH\bot BC\)
Tương tự ta chứng minh được \(AH\bot BD;\,\,AH\bot CD\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\) \(\Rightarrow \) B đúng.
Chưa đủ điều kiện để kết luận tam giác \(BCD\) vuông.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAD $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD.$
-
A.
\(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\)
-
B.
\(d = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
-
C.
\(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
-
D.
$d = a$
Đáp án : C
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ nên suy ra $SI \bot AD \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$ và \(SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Kẻ \(Ax\parallel BD\). Do đó \(d\left( {BD;SA} \right) = d\left( {BD;\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right)\)
(vì \(DI \cap \left( {SAx} \right) = A\) và \(IA = \dfrac{1}{2}DA\))
Kẻ \(IE \bot Ax\), kẻ \(IK \bot SE\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SI\\Ax \bot IE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow Ax \bot IK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IK \bot \left( {SAx} \right)\). Khi đó \(d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right) = IK\)
Gọi $F$ là hình chiếu của \(I\) trên \(BD\), ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta IAE = \Delta IDF\left( {ch - gn} \right) \) \(\Rightarrow IE = IF = \dfrac{{AO}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Tam giác vuông \(SIE\), có \(IK = \dfrac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\)
Vậy \(d\left( {BD;SA} \right) = 2IK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB = 3a, BC = 4a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và đáy bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC,$ tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM.$
-
A.
\(d = a\sqrt 3 .\)
-
B.
\(d = 5a\sqrt 3 .\)
-
C.
\(d = \dfrac{{5a}}{2}.\)
-
D.
\(d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\)
Đáp án : D
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\)
Xác định \({60^0} = \widehat {\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA}\) và \(SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a\sqrt 3 .\)
Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\), suy ra \(MN\parallel AB\).
Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(N\) qua \(M\), suy ra \(ABNE\) là hình chữ nhật.
Do đó $d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right).$
Kẻ \(AK \bot SE\).
Vì \(ME \bot AE,ME \bot SA\) nên \(ME \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow ME \bot AK\)
Mà \(AK \bot SE\) nên \(AK \bot \left( {SME} \right)\)
Khi đó \(d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\)
Hàm số $y = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 3} \right|$ được viết lại là
-
A.
$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
-
B.
$y = \left\{ \begin{array}{l}2x - 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x + 2\,\,\,khi\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
-
C.
$y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\, - 1 < x \le 3\\ - 2x - 2\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
-
D.
$y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$.
Đáp án : D
Phá dấu giá trị tuyệt đối của các biểu thức sử dụng lưu ý: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\).
Ta có bảng:
Từ bảng trên ta có kết luận: $y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$
Tìm điểm $A$ cố định mà họ đồ thị hàm số $y = {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 3m\,\,\left( {{P_m}} \right)$ luôn đi qua.
-
A.
$A\left( {3;\,\,15} \right)$
-
B.
$A\left( {0;\,\, - 2} \right)$
-
C.
$A\left( {3;\,\, - 15} \right)$
-
D.
$A\left( { - 3;\,\, - 15} \right)$
Đáp án : A
- Gọi tọa độ điểm cố định \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
- Biến đổi phương trình \(\left( {{P_m}} \right)\) về dạng \(Am + B = 0\).
- Điểm cố định \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\).
Điểm $A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ là điểm cố định của họ $\left( {{P_m}} \right)$ khi và chỉ khi
$\begin{array}{l}{y_0} = x_0^2 + \left( {2 - m} \right){x_0} + 3m \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} - {y_0} - m\left( {{x_0} - 3} \right) = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + 2{x_0} - {y_0} = 0\\{x_0} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 15\end{array} \right.\end{array}$
Suy ra $A\left( {3;\,\,15} \right)$.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) ?
-
A.
\(1.\)
-
B.
$0.$
-
C.
\(2.\)
-
D.
\(3.\)
Đáp án : B
- Trừ vế với vế rồi nhân với biểu thức liên hợp.
- Rút \(y\) theo \(x\) rồi thay vào các phương trình ban đầu
Điều kiện: \(x,y \ge 1\)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$\( \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1} - \sqrt {x - 1} = 0\)\( \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = 0}}\)
\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0\)
Khi \(x = y\) thì \(2x + \sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 1 - 2x\) (vô nghiệm do \(x \ge 1\) thì \(VT \ge 0,VP < 0\) )
Khi \(\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = \dfrac{1}{2}\) thì \(2x + 2y + \dfrac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \dfrac{3}{4}\) (vô nghiệm vì \(x,y \ge 1\))
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Các em có thể đánh giá từ bước đầu tiên như sau:
Vì $x,y\ge 1$ nên VT của các phương trình trong hệ đều $\ge 2$, do đó hệ vô nghiệm.
Cho bất phương trình\( - 2x + \sqrt 3 y + \sqrt 2 \le 0\) có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
-
B.
\(\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S\).
-
C.
\(\left( {1; - 2} \right) \notin S\).
-
D.
\(\left( {1;0} \right) \notin S\).
Đáp án : B
- Thay lần lượt các tọa độ của mỗi điểm vào bất phương trình và kiểm ta tính đúng sai của các đáp án.
Ta thấy \(\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right) \in S\) vì \( - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 .0 + \sqrt 2 = 0\) nên B đúng.
Ngoài ra khi ta thay tọa độ các điểm ở đáp án A, C, D ta thấy \(\left( {1;1} \right) \notin S\), \(\left( {1; - 2} \right) \in S\) và \(\left( {1;0} \right) \in S\) nên A, C, D đều sai
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.$?
-
A.
$\left( { - 1;4} \right)$.
-
B.
$\left( { - 2;4} \right)$.
-
C.
$\left( {0;0} \right)$.
-
D.
$\left( { - 3;4} \right)$.
Đáp án : C
- Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình và kiểm tra tính đúng, sai của mỗi đáp án
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta thấy chỉ có điểm $\left( {0;0} \right)$ không thỏa mãn hệ.
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 5\,\,\,(1)\\x + \dfrac{3}{2}y < 5\,\,\,(2)\end{array} \right.\). Gọi \({S_1}\) là tập nghiệm của bất phương trình (1), \({S_2}\) là tập nghiệm của bất phương trình (2) và \(S\) là tập nghiệm của hệ thì
-
A.
\({S_1} \subset {S_2}\).
-
B.
\({S_2} \subset {S_1}\).
-
C.
\({S_2} = S\).
-
D.
\({S_1} \ne S\).
Đáp án : A
- Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
- Xét tính đúng, sai của từng đáp án.
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 5\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + \dfrac{3}{2}y = 5\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Biết \(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n.\) Tính \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) theo m và n.
-
A.
$\dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}$
-
B.
$m - 3n$
-
C.
$m + 3n$
-
D.
$\dfrac{{{m^2} + n}}{3}$
Đáp án : A
- Lần lượt bình phương các đẳng thức giả thiết cho.
- Sử dụng công thức cộng để tính giá trị \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)
Ta có:
\(\cos \alpha + \cos \beta = m;\sin \alpha + \sin \beta = n\)
\( \Rightarrow {m^2} + {n^2}\) \( = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}\)
\( = {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta \) \( + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta \)
$ = \left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) + \left( {{{\cos }^2}\beta + {{\sin }^2}\beta } \right)$ $ + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)$
\( = 1 + 1 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\) \( = 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\)
Do đó \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{{m^2} + {n^2} - 2}}{2}\)
Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = m\left( {\left| m \right| \ge 2} \right)\). Tính theo $m$ giá trị của \(A = \left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|\)
-
A.
${m^3} - m$
-
B.
$ - 9m$
-
C.
${m^3} + 9m$
-
D.
\(\sqrt {{m^2} - 4} \)
Đáp án : D
- Bình phương biểu thức \(A\) và sử dụng hệ thức \(\tan \alpha \cot \alpha = 1\) để tính \({A^2}\).
- Khai căn hai vế ta được kết quả cần tìm.
Ta có:
\({\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2}\) \( = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha + 2\tan \alpha .\cot \alpha \) \( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \) \(= {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha \) \( = {m^2} - 2\) (do \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\))
Do đó:
\({\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2}\)\( = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cot \alpha \)\( = {m^2} - 2 - 2 = {m^2} - 4\)
Vậy \(\left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right| = \sqrt {{m^2} - 4} \)
Trong trường hợp câu không cho điều kiện của \(m\) thì các em cần biện luận giá trị của \(\left| {\tan \alpha - \cot \alpha } \right|\) theo \(m\).
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:
-
A.
$\left( {2;4} \right)$.
-
B.
$\left( {5;6} \right)$.
-
C.
$\left( {15;10} \right)$.
-
D.
$\left( {50;6} \right)$.
Đáp án : B
Sử công thức $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {10 - 5;8 - 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.
Cho\(A\left( {0;3} \right),\,B\left( {4;2} \right)\). Điểm \(D\) thỏa $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 $, tọa độ\(D\) là:
-
A.
\(\left( { - 3;3} \right)\).
-
B.
\(\left( {8; - 2} \right)\).
-
C.
\(\left( { - 8;2} \right)\).
-
D.
\(\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)\).
Đáp án : B
- Gọi tọa độ \(D\left( {{x_D};{y_D}} \right)\).
- Lập hệ phương trình ẩn \({x_D},{y_D}\) và giải hệ suy ra kết luận.
Ta có: $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} - 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 0 + 2\left( {0 - {x_D}} \right) - 2\left( {4 - {x_D}} \right) = 0\\{y_D} - 0 + 2\left( {3 - {y_D}} \right) - 2\left( {2 - {y_D}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 2\end{array} \right.$.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8cm,AC = 18cm$ và có diện tích bằng \(64c{m^2}\). Giá trị $\sin \widehat A$ là:
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{3}{8}\)
-
C.
\(\dfrac{4}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{8}{9}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức: \(S = \dfrac{1}{2}AB.CA.\sin \widehat A\)
Ta có \(S = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A \Rightarrow \sin A = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.18}} = \)\(\dfrac{8}{9}\)
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) và có độ dài trục lớn là \(2a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
\(2a = {F_1}{F_2}\).
-
B.
\(2a > {F_1}{F_2}\).
-
C.
\(2a < {F_1}{F_2}\).
-
D.
\(4a = {F_1}{F_2}\).
Đáp án : B
Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip.
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) với \(2c\) là tiêu cự của (E).
Elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) ta có \(2c = {F_1}{F_2}\) .
Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Do đó \(2a > {F_1}{F_2}\)
Giá trị của \(C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} \) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Đáp án : B
- Đưa các lũy thừa về cùng số mũ.
- Chia cả tử và mẫu cho \({a^n}\) với \(a\) là cơ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất.
- Sử dụng lý thuyết: Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)
$C = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{3^{n + 1}} + {4^{n + 1}}}}} = \lim \sqrt {\dfrac{{{{3.3}^n} + {4^n}}}{{{{3.3}^n} + {{4.4}^n}}}} $ $ = \lim \sqrt {\dfrac{{3.{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 1}}{{3.{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}} = \sqrt {\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$
Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi $\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\,\,$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty $.
-
B.
Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty $.
-
C.
Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều sai.
Đáp án : B
- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.
- Rút ra nhận xét.
$({u_n}):\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,(n \ge 1)\end{array} \right.\,\,$
$\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{{2 + 1}}\\{u_3} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{{3 + 1}}\end{array}$
Chứng minh bằng quy nạp: ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$
* Với $n = 1,\,n = 2$: (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với $n = k$, tức là \({u_k} = \dfrac{k}{{k + 1}}\) , ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}\)
Ta có: ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_k}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{k}{{k + 1}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{2k + 2 - k}}{{k + 1}}}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …
Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$
Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}} - \dfrac{n}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2} - 2n}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) \( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng và \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{n}{{n + 1}} = \lim \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = 1 \Rightarrow \) $({u_n})$ là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty $
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\)
-
B.
Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
C.
Hàm số không liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
-
D.
Hàm số không liên tục trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\)
Đáp án : D
Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)\). Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.
Do đó hàm số không liên tục trên mọi khoảng có chứa điểm \(x = 1\) hay A, B sai, D đúng.
Đáp án C sai do hàm số liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \dfrac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0\\a\cos x - 5\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\end{array} \right.\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục trên R.
-
A.
$a=5$
-
B.
$a=7$
-
C.
\(a = \dfrac{{11}}{2}\)
-
D.
Không có giá trị nào của a thỏa mãn.
Đáp án : A
Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0. Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Để hàm số liên tục trên R ta cần chứng minh hàm số liên tục tại x = 0.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos x - 5} \right) = a - 5 = f\left( 0 \right)\)
Ta có \(0 \le \left| {x\sin \dfrac{2}{x}} \right| \le \left| x \right|,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| x \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sin \dfrac{2}{x}} \right) = 0\)
Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a - 5 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$.
-
A.
$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
-
B.
$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
-
C.
$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.$
-
D.
$\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1.$
Đáp án : A
- Xác định \(a,b\) từ giả thiết đỉnh của hình chữ nhật cơ sở.
- Viết phương trình chính tắc \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$, suy ra \(a = 4,{\rm{ }}b = 3\).
Phương trình \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan 3x.\cot 5x\)
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án : D
- Hàm số \(y = \tan x\) xác định nếu \(\cos x \ne 0\).
- Hàm số \(y = \cot x\) xác định nếu \(\sin x \ne 0\).
- Sử dụng các công thức
$\cos a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
$\sin a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne k\pi$
Ta có: \(\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\) và $\cot 5x=\dfrac{\cos 5x}{\sin 5x}$
=> Điều kiện của hàm số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\sin 5x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\5x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x \ne k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số $y=\sin x$ và hàm số $y=\cos x$ là $\mathbb{R}$
Cho phương trình: $4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$ trong đó $m$ là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
-
A.
$ - 1 \le m \le 0$.
-
B.
$ - \dfrac{3}{2} \le m \le - 1$.
-
C.
$ - 4 \le m \le - \dfrac{3}{2}$.
-
D.
$m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$
Đáp án : D
- Biến đổi phương trình về phương trình trùng phương ẩn \(\sin 2x\).
- Đặt \(t = {\sin ^2}2x\), tìm điều kiện của \(t\).
- Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình ẩn \(t\) không có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có:
${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$$ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x$\( = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x\)
${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$$ - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x$\( = \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x\)
Phương trình đã cho trở thành
$4\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x} \right) - 8\left( {\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$
\( \Leftrightarrow 3 + \cos 4x - 5 - 3\cos 4x - 4\left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right) = m\)
\( \Leftrightarrow 4{\cos ^2}4x - 2\cos 4x = m + 6\)
Đặt \(t = \cos 4x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), phương trình trở thành \(4{t^2} - 2t = m + 6\,\,\left( * \right)\)
Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Xét hàm \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t\) trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) có:
Đồ thị của \(f\left( t \right)\) là parabol có hoành độ đỉnh \(t = \dfrac{1}{4} \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Bảng biến thiên:
Phương trình \(\left( * \right)\) không có nghiệm thuộc \(\left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}m + 6 < - \dfrac{1}{4}\\m + 6 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{{25}}{4}\\m > 0\end{array} \right.\).
Vậy \(m < - \dfrac{{25}}{4}\) hoặc \(m > 0\).
Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách được đánh số từ 1 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:
-
A.
10!
-
B.
725760
-
C.
9!
-
D.
9! - 2!
Đáp án : B
Gom hai quyển sách thành một quyển và đếm số cách xếp sách cho 9 quyển sách.
Gom 2 quyển sách thứ nhất và thứ hai thành 1 quyển nên coi như lúc này chỉ có 9 quyển sách.
Hoán vị hai quyển sách có 2! = 2 cách.
Sắp 9 quyển sách (trong đó có bộ 2 quyển sách vừa gom) vào 9 vị trí, có 9! cách.
Vậy có 2.9! = 725760 cách.
Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
-
A.
$1695.$
-
B.
$1485.$
-
C.
$405.$
-
D.
$360.$
Đáp án : A
Tìm số hạng tổng quát của tổng, từ đó suy ra hệ số.
Với $0 \le q \le p \le 10$ thì số hạng tổng quát của khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
${T_p} = C_{10}^p.C_p^q.{(3{x^2})^{10 - p}}.{(x)^{p - q}}{.1^q} = C_{10}^p.C_p^q{.3^{10 - p}}.{(x)^{p - q + 20 - 2p}}$
Theo đề bài thì $p - q + 20 - 2p = 4 \Leftrightarrow p + q = 16$
Do $0 \le q \le p \le 10$ nên $(p;q) \in \left\{ {(8;8);(9;7);(10;6)} \right\}$.
Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
$C_{10}^8.C_8^8{.3^{10 - 8}} + C_{10}^9.C_9^7{.3^{10 - 9}} + C_{10}^{10}.C_{10}^6{.3^{10 - 10}} = 1695$.
Một lô hàng gồm $1000$ sản phẩm, trong đó có $50$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó $1$ sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
-
A.
$0,94.$
-
B.
$0,96.$
-
C.
$0,95.$
-
D.
$0,97.$
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Gọi A là biến cố: “lấy được 1 sản phẩm tốt.“
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{1000}^1 = 1000.\)
Số cách lấy được sản phẩm tốt là \(n\left( A \right) = C_{950}^1 = 950.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{950}}{{1000}} = 0,95.\)
Cho hai số \( - 3\) và \(23.\) Xen kẽ giữa hai số đã cho \(n\) số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai \(d = 2.\) Tìm \(n.\)
-
A.
\(n = 12.\)
-
B.
\(n = 13.\)
-
C.
\(n = 14.\)
-
D.
\(n = 15.\)
Đáp án : A
Coi \({u_1} = - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23\), tìm \(d\) và các số hạng cần tìm, sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có \(n + 2\) số hạng với \({u_1} = - 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23.\)
Khi đó \({u_{n + 2}} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\) \( \Leftrightarrow n + 1 = \dfrac{{{u_{n + 2}} - {u_1}}}{d} = \dfrac{{23 - \left( { - 3} \right)}}{2} = 13\) \( \Leftrightarrow n = 12\)
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(1;{\rm{ }}\,4;{\rm{ }}\,16;{\rm{ }}\,64;{\rm{ }} \cdots \) Gọi \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\({S_n} = {4^{n - 1}}.\)
-
B.
\({S_n} = \dfrac{{n\left( {1 + {4^{n - 1}}} \right)}}{2}.\)
-
C.
\({S_n} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}.\)
-
D.
\({S_n} = \dfrac{{4\left( {{4^n} - 1} \right)}}{3}.\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính tổng \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).
Cấp số nhân đã cho có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}\)
Cho \(k,\,\,n\)\(\,(k < n)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
A.
\(C_n^k = C_n^{n - k}\).
-
B.
\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}\).
-
C.
\(A_n^k = k!.C_n^k\).
-
D.
\(A_n^k = n!.C_n^k\).
Đáp án : D
Sử dụng các công thức liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị.
Ta có:
\(C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k\) là các công thức đúng.
Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
-
A.
\(y = x + 1.\)
-
B.
\(y = - x + 2.\)
-
C.
\(y = 2x + 1.\)
-
D.
\(y = - x + 1.\)
Đáp án : D
Nhận xét dáng đồ thị suy ra hệ số góc đường thẳng, các điểm đi qua và đối chiếu đáp án.
Đồ thị đi xuống từ trái sang phải \( \Rightarrow \) hệ số góc \(a < 0.\) Loại A, C.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;1} \right).\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực \(m\) thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có đúng \(4\) nghiệm phân biệt.
-
A.
\(0 < m < 1\).
-
B.
\(m > 3.\)
-
C.
\(m = - 1,{\rm{ }}m = 3.\)
-
D.
\( - 1 < m < 0.\)
Đáp án : A
- Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau :
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành, bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành đi ta sẽ được đồ thị hàm số cần tìm.
Ta có \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right)}&{;f\left( x \right) \ge 0}\\{ - f\left( x \right)}&{;f\left( x \right) < 0}\end{array}} \right.\).
Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:
+ Giữ nguyên đồ thị \(y = f\left( x \right)\) phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị \(y = f\left( x \right)\) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).
Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như hình vẽ.
Phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đường thẳng \(y = m\) (song song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 0 < m < 1.\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(AB = AC = a\). Tính độ dài đường trung tuyến \(BM\) của tam giác đã cho
-
A.
\(BM = 1,5a.\)
-
B.
\(BM = a\sqrt 2 .\)
-
C.
\(BM = a\sqrt 3 .\)
-
D.
\(BM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
Đáp án : D
Nhận xét tính chất tam giác \(ABM\) và suy ra độ dài \(BM\).
\(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow AM = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{a}{2}.\)
Tam giác \(\Delta BAM\) vuông tại \(A\)
\( \Rightarrow BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Danh sách bình luận