Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy  và chiều cao  là:

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Áp dụng định lý Pitago \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) ta có:

\(SC = \sqrt {A{C^2} - S{A^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong  vuông tại \(S,\) có đường cao \(SH\) ta có:

\(\begin{array}{l}SH = \dfrac{{SA.SC}}{{AC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\\ \Rightarrow {V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\end{array}\)

Chọn A.