Phương pháp giải:

+) Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức ở đề bài, từ đó ta tìm được \(f\left( x \right).\) (sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân \(f'\left( x \right)dx = d\left( {f\left( x \right)} \right)\) )

+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\). Ta giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\)

+) Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2 \Rightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} .f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}d\left( {f\left( x \right)} \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}}{3} = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = 3C\)\( \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\)

Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\)  trên \(\left[ { - 2;1} \right]\)

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {9{x^2} + 12x + 6} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {{x^2} + \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9}} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left[ {{{\left( {x + \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + \dfrac{2}{9}} \right]\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Nhận thấy \(f'\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right)\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{16}}.\)

Chọn C.