Phương pháp giải:

- Viết lại \(f\left( x \right)\) dưới dạng tích, thay vào \(g\left( x \right)\).

- Tìm các điểm làm cho \(g\left( x \right)\) không xác định và tính giới hạn của hàm số \(y = g\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới các điểm đó.

- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} + x \ge 0\\{\left( {f\left( x \right)} \right)^2} - 2f\left( x \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x \le  - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ne 0\\f\left( x \right) \ne 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x =  - 3\) (bội \(2\)) và nghiệm đơn \(x = {x_0} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên ta viết lại \(f\left( x \right) = a{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x - {x_0}} \right)\).

Khi đó \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\)\( = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x.f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]}}\).

Dựa vào đồ thị ta cũng thấy, đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt \(x =  - 1,\,\,x = {x_1} \in \left( { - 3; - 1} \right),\,\,x = {x_2} <  - 3\) nên ta viết lại \(f\left( x \right) - 2 = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

Khi đó \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x.a{{\left( {x + 3} \right)}^2}.\left( {x - {x_0}} \right).a.\left( {x + 1} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)}}\)

                    \( = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} }}{{{a^2}x\left( {x + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Dễ thấy \(x = {x_0} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm \({x_0}\).

Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{{a^2}\sqrt x \left( {x + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \)

    \( \Rightarrow x = 0\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} g\left( x \right) =  + \infty \)

    \( \Rightarrow \) Các đường thẳng \(x =  - 3,x = {x_1},x = {x_2}\) đều là các đường tiệm cận đúng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tất cả \(4\) đường tiệm cận đứng.

Chọn D.