Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x}  + x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{2}{x}}  + 1}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x}  + x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{2}{x}}  + 1}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 0\]

\( \Rightarrow y = 2,\,\,y = 0\) là các đường TCN của đồ thị hàm số.

\(x = 1 \notin D \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có TCĐ.

Chọn C.