Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(f\left( {\left| {x + m} \right|} \right)\) được tạo thành bằng cách.

+) Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) suy ra đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\).

+) Từ đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) suy ra đồ thị hàm số \(f\left( {\left| {x + m} \right|} \right)\) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) dọc theo trục \(Ox\) sang bên trái \(m\) đơn vị.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(f\left( {\left| {x + m} \right|} \right)\) được tạo thành bằng cách.

+) Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) suy ra đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) bằng cách giữ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) bên phải trục hoành, xóa đi phần đồ thị hàm số bên trái trục hoành và lấy đối xứng đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) bên phải trục hoành qua trục hoành.

+) Từ đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) suy ra đồ thị hàm số \(f\left( {\left| {x + m} \right|} \right)\) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) dọc theo trục \(Ox\) sang bên trái \(m\) đơn vị.

Từ đó ta có đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:

Quá trình tịnh tiến đồ thị hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) dọc theo trục \(Ox\) sang bên trái \(m\) đơn vị không làm thay đổi số tương giao,  do đó phương trình \(f\left( {\left| {x + m} \right|} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m =  - 1\) hoặc \(m = \dfrac{4}{3}\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m =  - 1\).

Vậy có 1 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.