Câu hỏi
Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R.\) Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy 2 điểm \(A,\,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \({R^2}\sqrt 2 ,\) thể tích \(V\) của khối nón đã cho bằng
- A \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{2}\)
- B \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\)
- C \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{3}\)
- D \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{{12}}\)
Phương pháp giải:
+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SM \bot AB \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}SM.AB\).
+) Tính \(SM\), từ đó tính \(SO\).
+) Sử dụng công thức tính thể tích nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) .
Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OM \bot AB\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}SM.AB \Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \dfrac{{2.{R^2}\sqrt 2 }}{{R\sqrt 2 }} = 2R\).
Ta có \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \dfrac{{R\sqrt {14} }}{2}\)
Vậy \({V_N} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.\dfrac{{R\sqrt {14} }}{2} = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\).
Chọn B
Câu hỏi trước
