Phương pháp giải:

+) So sánh \(d\left( {S;\left( {BCD} \right)} \right)\) và \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\) từ đó tính \({V_{S.BCD}}\) theo \({V_{ABCD}}\).

+) Sử dụng công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AS \cap \left( {BCD} \right) = I \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {BCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{SI}}{{AI}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.BCD}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{ABCDS}} = {V_{ABCD}} + {V_{S.BCD}} = \dfrac{3}{2}{V_{ABCD}} = \dfrac{3}{2}\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}\)

Chọn D.