Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn có tâm \(I\left( {3;4} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\)

Chọn C.