Câu hỏi
Biết rằng hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
- A \(\left( { - 3;0} \right)\).
- B \(\left( {0;3} \right)\).
- C \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
- D \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải:
Để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + m\)
Do \(a = 3 > 0\) nên để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 3m > 0\\{\left| {{x_2} - {x_1}} \right|^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\{\left( { - 2} \right)^2} - 4.\dfrac{m}{3} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m = - \dfrac{{15}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{{15}}{4}\end{array}\).
Chọn: C
Câu hỏi trước
