Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để tại điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\) có y’ đổi dấu từ dương sang âm.

Lời giải chi tiết:

\(y = x + p + \dfrac{q}{{x + 1}},\,\,\left( {x \ne  - 1} \right) \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{q}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{q}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \dfrac{q}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}}} = 0\\ - 2 + p + \dfrac{q}{{ - 2 + 1}} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 1\\p = 1\end{array} \right.\)

Kiểm tra lại: Với \(q = p = 1\), ta có: \(y = x + 1 + \dfrac{1}{{x + 1}},\,\,y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\): đổi dấu từ dương sang âm tại\(x =  - 2\).

\( \Rightarrow q = p = 1\): thỏa mãn.  Khi đó ta có: \(pq = 1\).

Chọn: B