Phương pháp giải:

Viết phương trình AB từ đó tìm được tọa độ điểm A,B. Tìm tọa độ điểm N là giao điểm của AI và BC, từ đó suy ra tọa độ điểm C

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\) và \(M\left( {0,1} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm cạnh AB và A có hoành độ dương.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 2\)

\( \Rightarrow IA = IB\) mà \(MA = MB\) (M là trung điểm cạnh AB)

\( \Rightarrow \) IM là đường trung trực của đoạn AB

Đường thẳng AB đi qua \(M\left( {0;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AB} \right):x - y + 1 = 0\)

Tọa độ A,B là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x =  - 1;y = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {1;2} \right),B\left( { - 1;0} \right)\) (do \({x_A} > 0\))

Đường thẳng AI đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA}  = \left( {2;0} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AI} \right):y - 2 = 0\)

Đường thẳng BC đi qua \(B\left( { - 1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA}  = \left( {2;0} \right)\) làm VTPT (tam giác ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {BC} \right):x + 1 = 0\)

Gọi N là giao điểm của AI và BC, tọa độ điểm N là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 1;2} \right)\)

Do tam giác ABC cân tại A nên N là trung điểm của BC \( \Rightarrow C\left( { - 1;4} \right)\)

Chọn B.