Phương pháp giải:

Xét tính liên tục hàm số tại \(x =  - 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right).\)

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x =  - 1.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) =  - 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 2.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x + a} \right) = a - 1\end{array}\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x =  - 1 \Leftrightarrow a - 1 =  - 2 \Leftrightarrow a =  - 1.\)

Chọn A.