Phương pháp giải:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\), để hàm số liên tục tại \(x = 0\) khi và chỉ khi  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}{x} = \frac{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} + 4} }}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 4} \,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 0\\ - \sqrt {{x^2} + 4} \,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {{x^2} + 4}  = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ { - \sqrt {{x^2} + 4} } \right] =  - 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\end{array}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số không có giới hạn tại \(x = 0\)  nên không liên tục tại \(x = 0.\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) để hàm số liên tục tại \(x = 0.\)

Chọn A.