Phương pháp giải:

Tính  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ và $f\left( 0 \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {ax + 1}  - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {ax + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a}{{\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}} = \frac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 4 \cdot {0^{2019}} + 5b = 5b.\end{array}$

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì:  $\frac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b$

Chọn B.