Phương pháp giải:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)\), để hàm số liên tục tại \(x = 3\) khi và chỉ khi  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = f\left( 3 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\) .

Ta có :

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} =  - 1.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = 1.\\\end{array}\)

Vậy  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)\) không tồn tại.

Vậy với mọi \(m\), hàm số đã cho không liên tục tại \(x = 3.\)

Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi  để hiểu rõ hơn.

Chọn A.