Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\) 

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\,;\,\,\,f\left( 2 \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right)\)  xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 2m + 1\) 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 12\).

Để \(f\left( x \right)\)  liên tục tại \(x = 2\)  thì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2m + 1 = 12 \Leftrightarrow m = \frac{{11}}{2}.\)

Chọn D.