Phương pháp giải:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\), để hàm số liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {3x + 1}  - 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}} = \frac{3}{8}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}} = \frac{a}{2}\,\,\\f\left( 1 \right) = \frac{a}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{3}{8} \Rightarrow a = \frac{3}{4}\).

Chọn C.